서론
지하 암반에 굴착된 구조물을 장기간에 걸쳐 안전하게 유지하기 위해서는 설계 및 시공 단계에서 구조물의 역학적 거동을 분석하여 그 안정성을 판단하는 것이 중요하다. 컴퓨터 기술의 발전에 따라 수치해석적 기법이 지하공동, 터널, 비탈면, 댐 기초와 같은 지반구조물의 안정성 평가에 폭넓게 활용되고 있다. 수치해석적 안정성 평가의 신뢰도는 해석에 이용되는 입력자료, 즉 암반의 공학적 특성이 얼마나 정확하게 산정되었는가에 따라 결정된다. 불균질성(heterogeneity)을 내포하고 있는 자연재료인 암반은 공간에 따라 물리적 특성이 변하는 불확실성을 갖고 있으며, 이로 인해 설계에 적용할 대표 물성을 산정하는 데 어려움이 따른다. 이러한 암반 고유의 불확실성(inherent uncertainty)뿐만 아니라 분석 범위와 빈도가 한정적인 지반조사와 물성시험의 대표성 문제 및 통계적 오차, 지반조사 시 발생하는 측정 오차, 작은 크기의 암석시료를 대상으로 측정된 물성을 현장의 불연속면 특성을 반영한 암반물성으로 환산 시 발생하는 오차 등으로 인해 설계단계에서 예측된 지반거동과 실제현장의 거동이 차이를 보이는 경우가 발생하게 된다. 설계 시 예측된 지반거동과 시공 시 관측된 거동간의 차이가 현저한 경우에는 설계의 적정성을 재검토할 필요가 있으며, 이를 위해서는 현장의 지반거동을 재현할 수 있는 암반물성이 다시 산정되어야 한다. 해당구역에 대한 추가적인 지반조사를 통해 암반물성을 재산정하는 것이 합리적일 수 있으나, 추가 조사에 따른 시간 및 경제적인 문제, 지반조사의 대표성 문제로 인하여 적합하지 않을 수 있으며, 공사 중 현장에서 계측된 지반거동 자료에 기반한 역해석(inverse analysis or back analysis) 기법의 활용이 현실적인 대안이 될 수 있다.
정해석(forward analysis)이 재료 물성값과 재료에 가해지는 외부의 하중조건을 입력하여 정해진 경계조건 하에서 지반거동을 예측하는 방법인 반면, 역해석은 현장에서 실제 계측된 재료거동의 자료를 입력변수로 적용하여 재료 물성을 거꾸로 추정하는 분석기법이다. 역해석으로부터 추정된 물성은 설계단계의 지반조사를 통해 산정된 값들과 비교될 수 있으며, 이를 통해 굴착설계의 최적화(optimization)를 수행하거나 운영 중 유지관리 단계에서 구조물의 안정성을 검증하는 데 활용될 수 있다. 지반굴착과 관련하여 다양한 형태의 역해석 연구들이 국내외적으로 수행되어 왔다. 현장에서 계측된 지반거동 자료(변위, 변형률, 응력, 수압 등)에 기반하여 지반의 수리적 특성(Vasco et al., 2000, 2008), 터널 라이닝에 작용하는 하중(Najm and Ishijima, 1993; Park et al., 1999; Park et al., 2013), 경계조건(Tonon et al., 2001), 절리의 전단거동 특성(Cho, 1996), 연약지반의 압축지수(Hwang et al., 2010), 현지 암반의 초기응력과 변형계수(Kaiser et al., 1990; Sakurai and Takeuchi, 1983; Lee and Kim, 1991a, 1991b; Jun et al., 1994; Kim and Jang, 1995; Jang and Kim, 1998; Kim et al., 2000; Yang and Jeon, 2002; Kim, 2005; Kim, 2011) 등을 추정하기 위한 역해석 방법론들이 다양하게 제안되어 왔다. 한편, 지하굴착 후 계측된 지반거동 자료는 굴착 주변의 연약대 위치와 크기를 분석하거나 다음 굴착단계의 지반거동을 예측하는 데 활용되기도 한다(Park and Moon, 2009, 2011).
역해석 방법은 크게 역산법(inverse method)과 직접탐색법(direct search method)으로 분류된다. 지하굴착 문제와 관련된 역산법에 대한 연구사례를 살펴보면, Sakurai(1981)가 터널의 안정성 분석을 위해 계측된 변위에 기반한 직접 변형률 해석기법을 제안하였고, Sakurai and Takeuchi(1983)는 역산법을 활용하여 지하공동 굴착 시 계측된 변위를 토대로 암반의 탄성계수와 초기지압을 추정하였다. 국내에서도 Lee and Kim(1991a, 1991b)이 이러한 방법을 적용한 연구를 수행한 바 있다. 또한 Cho(1996)는 Sakurai가 개발한 역해석 모델에 Gerrard and Pande(1985)와 Cho et al.(1991)에 의해 수립된 절리암반의 연속체적 거동에 대해 수치해석적 기법을 도입하여 불연속면의 공간적 및 역학적 특성이 고려될 수 있는 역해석 모델에 대한 연구를 수행하였다. 직접탐색법과 관련한 연구사례를 살펴보면, Gioda and Maier(1980)에 의해 직접탐색법이 연구된 이후, Cividini et al.(1981)에 의해 관측치와 계산치 사이의 오차를 목적함수(objective function)로 정의하여 이를 최소화함으로써 최적의 미지변수를 추정하는 연구가 수행되었다. 역산법은 정해석 문제의 지배방정식을 역으로 수학적 정식화(mathematical formulation)하여 분석하는 방법이며, 미지변수 추정을 위한 반복연산이 없어 계산시간이 상대적으로 짧은 장점이 있다. 그러나 지반거동의 비선형성, 시간의존성, 점탄성거동 등을 고려하는 경우, 역 지배방정식의 정식화에 어려움이 있어 주로 수학적으로 단순한 문제(예; 탄성지반을 가정한 경우)에 한정되어 사용된다(Park and Park, 2016). 직접탐색법은 식 (1)과 같이 관측치와 계산치 사이의 오차를 표현하는 목적함수를 정의하고, 이 함수의 값이 최소가 되도록 역해석 매개변수의 값을 조정해 가면서 반복적으로 정해석을 수행하여 최적해를 탐색하는 방법으로 역산법과는 다르게 수학적 정식화가 필요하지 않아 비선형 문제에도 적용할 수 있는 장점이 있다. 그러나 목적함수의 최소값을 찾기 위한 반복연산으로 인해 최적해 탐색시간이 길어질 수 있는 문제점을 내포하고 있으므로 직접탐색법을 활용하여 역해석을 수행하는 경우, 계산결과의 정확도와 함께 계산효율의 적정성도 검토되어야 한다. 최근의 컴퓨터 연산기술의 발전에 따라 반복연산에 대한 계산부담이 줄어들어 해석영역, 하중조건 및 경계조건이 복잡한 지반모델과 비선형 문제에 적용이 쉽지 않은 역산법에 비해 직접탐색법의 활용빈도가 높은 편이다.
| $$F(x)=\sqrt{\frac1N\sum_{i=1}^N\frac{(f_i(x)-F_i)^2}{\triangle F_i^2}}$$ | (1) |
여기서 F(x)는 최소자승잔차(least squares residual)를 나타내는 목적함수, x는 역해석으로부터 추정되어야 할 매개변수, N은 총 계측지점의 수, fi(x)와 Fi는 각각 i번째 계측지점에 대해 해석적으로 예측된 값과 실제 관측된 값, ΔFi는 계측오차와 관련된 인자이다.
지하 굴착공사 중 계측자료를 이용하여 역해석을 수행하는 중요한 목적 중 하나는 공사 및 유지관리 단계에서 구조물의 안정성을 검증하는 것이며, 이를 위해서는 암반의 강도정수 추정을 위한 역해석의 적용이 필요하다. 본고에서는 지하굴착 역해석을 위한 직접탐색법 기반의 최적화 기법(optimization technique)과 암반의 강도정수 추정을 위한 역해석 방법을 소개하였으며, 기존 역해석의 한계점을 분석하고 향후 개선되어야 할 사항에 대해 기술하였다.
최적화 기법
개요
최적화 문제는 목적함수의 값을 최적화(최대화 또는 최소화)시키는 매개변수의 조합을 찾는 문제로 정의된다. 목적함수 변수의 개수에 따라 일변수 함수 또는 다변수 함수에 대한 최적화 문제가 되며, 목적함수의 매개변수가 일차 이하의 다항식으로 구성되면 선형 최적화(linear optimizatioin), 이외의 경우(이차 이상의 다항식 또는 비선형 함수)로 구성되면 비선형 최적화(nonlinear optimization)로 분류된다. 또한, 목적함수 외에 관련 매개변수가 만족해야 할 별도의 제약조건이 있는 경우에는 조건부 최적화(constrained optimization), 그렇지 않은 경우에는 무조건부 최적화(unconstrained optimization)로 구분된다. 최적화 문제를 푸는 것은 직접탐색에 기반한 반복연산을 통해 최적값을 찾는 것으로서, 유효한 매개변수 공간 내에서 현재 위치에서 함수값이 감소(최소화 문제의 경우) 또는 증가(최대화 문제의 경우)하는 방향으로 조금씩 매개변수 값을 이동해 가면서 최적해를 찾는 것이다. 최소화 문제를 기준으로 설명하면, 초기에 임의로 설정된 매개변수 위치(초기 매개변수 값)를 이용하여 목적함수를 계산하고, 그 위치에서 어느 방향으로 이동하는 것이 가장 목적함수의 값을 감소시키는 경로(path)인지 결정한 후 그 방향으로 매개변수의 위치를 약간씩 조정하며, 더 이상 목적함수를 감소시킬 수 없는 지점(local minima)에 도달할 때까지 앞서의 탐색과정을 반복하는 것이 최적화 문제를 푸는 기본적인 원리이다. 이러한 최적화 문제에서 가장 중요한 이슈는 어느 방향으로 매개변수 위치를 이동시킬 것인지(탐색방향)와 한번에 얼마만큼 이동시킬 것인지(이동거리)를 결정하는 것이다. 기존의 다양한 형태의 최적화 기법들(Netwon-Raphson 법, GaussNewton 법, gradient descent 법, Levenberg-Marquardt 법 등)이 제시되어 있지만, 이들 방법의 근본적인 차이는 이동할 탐색방향과 이동거리의 양을 어떤 방식으로 결정하느냐에 있고 최적화 문제를 푸는 기본적인 개념은 동일하다. 본 절에서는 최적화를 위한 탐색방향 및 이동거리의 결정방법에 대해 설명하고, 기존 최적화 기법들의 특징을 분석하였다.
최적화 기법의 기본 개념 및 특징 분석
앞서 설명한 최적화 문제의 매개변수 탐색방향과 이동거리를 결정하기 위해서는 기울기를 나타내는 일차미분과 곡률을 나타내는 이차미분의 개념이 기본적으로 사용된다. 일차미분을 이용하는 최적화 기법은 식 (2)와 같은 형태로 기본개념이 표현될 수 있으며, 잘 알려진 gradient descent 방법이 이에 속한다. 최소화 문제인 경우, 현재 위치에서 기울기가 양수이면 x를 감소시키고, 음수이면 x를 증가시키는 방식으로 f가 최소가 되는 위치에 대한 탐색 최적화가 이루어진다.
| $$x_{k+1}=x_k-\lambda f'(x_k)$$ | (2) |
여기서 x는 매개변수, k는 반복연산 횟수, 는 매개변수의 이동거리를 결정하는 step size, f'은 일차미분이다.
일차 미분을 이용하는 방법은 목적함수 값의 기울기에 기반하므로 최적점 위치로의 탐색방향은 일관되게 제시할 수 있으나, 다음 연산단계에서 매개변수의 이동거리에 따라 최적화 수렴속도가 다양하게 변할 수 있는 문제점을 갖고 있다. 예를 들어 목적함수가 비선형이고 최적점에 접근할수록 일차미분이 0에 가까워지는 경우, 다음 단계의 매개변수 이동거리의 양이 크게 줄어들어 수렴속도가 현저히 감소하게 된다. 이를 보완하기 위해 초기 설정된 step size를 조정할 수도 있으나, 임의로 과도하게 조정하게 되면 찾고자 하는 최적점을 훨씬 벗어난 공간으로 매개변수를 이동시켜 최적화 과정이 수렴하지 않고 발산해 버릴 수 있는 한계점이 있다.
이차미분에 기반한 방법은 식 (3)과 같은 형태로 일차미분과 이차미분을 함께 이용하며, 대표적으로 Newton-Raphson 법, Gauss-Newton 법, Levenberg-Marquardt 법이 이차미분을 이용한 최적화 기법에 해당된다.
| $$x_{k+1}=x_k-\frac{f'(x_k)}{f''(x_k)}$$ | (3) |
여기서 x는 매개변수, k는 반복연산 횟수, f'과 f''은 각각 일차와 이차미분을 나타낸다.
이차미분을 이용하는 최적화 기법은 이차미분에 의해 step size의 값이 조절되므로 고정된 step size를 이용하는 일차미분 최적화 기법에 비해 빠른 수렴속도를 제공하는 것으로 알려져 있다. 그러나 이차미분 값이 0이 되는 변곡점 근처에서 step size가 너무 커져서 최적화 과정이 수렴하지 않고 발산해 버릴 수 있는 문제점이 있고, 또한 탐색방향을 결정할 때 극대와 극소방향을 구분하지 못하는 한계가 있다. 기존에 제안된 다양한 최적화 기법들은 이러한 단점을 보완하기 위한 대안에 해당된다.
위에서 설명한 일차 및 이차미분을 이용한 최적화 기법의 문제점들은 다음 단계의 매개변수 이동거리의 양을 결정함에 있어 현 지점에서의 국부적인 함수변화(일차 또는 이차미분 값)를 사용하는 것에 기인한다. 선탐색기법(line search method)은 이러한 문제를 해결하기 위한 한 가지 방법으로서, 이 방법에서는 이동하고자 하는 방향을 따라서 실제 함수값의 변화를 미리 분석한 후 이동거리의 양을 결정하게 된다. 퇴각 선탐색기법(backtracking line search method)의 경우, 이동하고자 하는 방향으로 최대한 멀리 매개변수 위치를 이동시켜 해당지점의 함수값을 계산하고 이 값이 현재의 함수값에 비해 충분히 최적점에 근접했는지 분석한 후, 충분히 근접하지 못했다면 이동거리 양을 줄여가면서 다시 함수값을 계산하고 비교한다. 이와 같은 과정을 반복하면서 충분히 최적점에 근접했다고 판정이 되면 해당지점으로 매개변수 위치를 이동시키게 된다. 이동하고자 하는 위치에서의 함수값을 f(xk+Δx), 현 위치에서의 함수값을 f(xk)라고 할때, 최적점으로의 근접 여부는 Armijo-Goldstein 조건(Armijo, 1966)으로 알려진 식 (4)에 의해 판정한다.
| $$f(x_k+\Delta x)-f(x_k)\leq\Delta xcf'(x_k)$$ | (4) |
여기서 x는 매개변수, k는 반복연산 횟수, Δx는 매개변수 이동거리, c는 0과 1사이의 상수이다.
위에서 설명한 선탐색기법은 일차미분에 기반한 최적화 기법의 문제점(매개변수 이동거리의 결정)을 극복하기 위한 방법이다. 이차미분을 이용한 최적화 기법의 단점(변곡점에서의 문제)을 보완하기 위해 신뢰영역법(trust region method)이 활용될 수 있다. 신뢰영역법은 목적함수를 다항식 형태로 근사시키고 이 근사함수를 토대로 최적값을 탐색하는 방법으로, 잘 알려진 Levenberg-Marquardt 법이 신뢰영역법에 속한다. 신뢰영역법에서는 최적해를 찾기 위한 탐색범위를 사전에 결정된 신뢰영역 내부로만 제한하고, 근사함수의 정확도에 따라 신뢰영역을 조정한다. 목적함수를 다항식 형태로 근사시키는 측면에서 신뢰영역법은 응답면 기법(response surface method)과 유사하다. 그러나 이 두 가지 방법의 기본적인 차이점은 응답면 기법에서는 근사함수를 이용하여 탐색방향을 먼저 정하고 이후 이 방향을 따르는 매개변수의 이동거리를 결정하는 반면, 신뢰영역법은 현재 단계의 최적해를 중심으로 탐색영역을 설정하고 이 탐색영역 내에서만 새로운 최적해를 찾는 방법으로 매개변수 탐색방향과 이동거리가 동시에 결정되는 것이다(Nocedal and Wright, 1999).
앞서 설명한 특정 매개변수 위치에서 목적함수 값의 변화를 이용하는 방법들은 도함수 기반 최적화(derivative-based optimization) 기법으로서, 시스템 모델이 복잡하고 수학적으로 정립할 수 없는 경우, 궁극적으로 찾고자 하는 전역 최적해(global optimum)을 탐색하지 못하고 국부 최적점(local optimum)에 대한 정보만 제공할 수 있는 문제점이 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 도함수를 이용하지 않는 비도함수 최적화(non-derivative or derivative-free optimization) 기법들이 제안되었다. 대표적으로 유전자 알고리즘(genetic algorithm), 패턴 탐색법(pattern search method) 등이 비도함수 최적화 기법에 해당한다. 비도함수 최적화 기법은 전역 최적해를 제공할 수 있는 장점이 있으나, 최적해를 찾는 과정의 수렴속도가 도함수 기반 기법에 비해 빠르지 않고 설정된 매개변수의 적합도(fitness) 여부만을 판정하므로 입력 매개변수의 민감도와 매개변수들간의 상관관계를 파악하기 어려운 단점이 있다. 시스템 모델이 단순하고 수학적으로 표현이 가능한 경우에는 비도함수 최적화 기법이 오히려 계산효율 측면에서 불리할 수 있으므로 도함수 기반 기법의 적용을 검토할 필요가 있다.
암반의 강도정수 추정을 위한 역해석
개요
암반굴착 문제와 관련된 초기의 역해석 연구는 암반이 선형탄성 거동(linear elastic behavior)을 한다고 가정하고 굴착 후 측정된 암반의 변형(계측변위)을 이용하여 주변암반의 변형계수와 초기지압을 추정하는 내용이 주를 이루었다. 암반거동의 선형탄성 가정에 의해 굴착문제를 비교적 단순한 형태의 수학적 모델로 표현할 수 있고, 이로 인해 역 지배방정식의 정식화가 용이하기 때문에 초기 연구는 이러한 탄성 역해석(elastic inverse analysis) 분야에 집중되었다. 계측변위에 기반한 탄성 역해석으로부터 추정된 암반의 변형계수는 재료의 소성변형을 고려한 탄소성 거동 가정에 비해 보수적으로 낮게 평가되기 때문에 변형계수에 기반한 예비설계 개념의 굴착안정성 평가 시 활용할 수 있다. 그러나 이러한 선형탄성 거동 가정은 재료에 가해지는 응력이 낮은 수준이거나 응력수준의 변화가 상대적으로 크지 않을 경우에 타당한 조건으로, 실제 지반거동은 굴착규모나 암반조건에 따라 소성거동이 발생할 수 있고, 이 경우에는 암반의 변형특성뿐만 아니라 강도특성을 입력하여 안정성을 평가해야 하므로 강도정수 추정이 가능한 탄소성 역해석(elastoplastic inverse analysis)의 적용을 고려할 필요가 있다. 특히, 굴착공간이 붕괴된 현장의 원인조사와 붕괴 시 강도특성 파악을 위해서는 재료의 비선형 변형거동을 고려하는 탄소성 역해석의 적용이 적합하다.
기존 연구사례 분석
계측된 변위로부터 암반의 강도정수(점착력과 내부마찰각)를 추정하는 역해석은 크게 두 가지 접근법으로 분류할 수 있다. 하나는 재료의 선형탄성 거동을 가정한 탄성 역해석에 기반하여 강도정수를 추정하는 방법이고, 다른 하나는 비선형 변형거동을 고려하는 탄소성 역해석에 의해 계측변위로부터 직접적으로 강도정수를 추정하는 방법이다. 첫 번째 접근법의 경우, 탄성 역해석에 의해 계측변위를 만족시키는 변형계수를 먼저 추정하고 사전에 알려진 암반의 변형계수와 압축강도간의 상관관계를 이용하여 강도정수를 추정하는 방법이 많이 활용된다. 주로 사용하는 변형계수와 압축강도의 상관관계는 Sakurai(1981)가 제시한 한계변형률(critical strain) 개념에 기반한다. 한계변형률은 재료의 영률계수(Young’s modulus)에 대한 일축압축강도의 비로 정의된다. Sakurai(1981)는 Fig. 1과 같이 실내시험에 사용된 암석시료의 일축압축강도와 한계변형률과의 관계를 제시하였다. 실내시험으로부터 획득된 한계변형률의 크기효과(scale effect)가 크지 않은 것으로 간주하는 경우, 즉 작은 크기의 암석시료의 한계변형률과 불연속면 등을 포함한 상대적으로 큰 크기의 암반의 한계변형률의 차이가 크지 않다고 가정하게 되면, 해당현장의 암석시료에 대한 한계변형률 정보를 알고 있으므로 탄성 역해석으로부터 암반 변형계수가 추정되면 암반의 일축압축강도를 산정할 수 있다. 암반의 Mohr-Coulomb 재료거동을 가정하는 경우, 산정된 암반의 일축압축강도는 식 (5)와 같이 점착력과 내부마찰각으로 표현되고, 점착력이나 내부마찰각 중 어느 하나 값을 알고 있거나 가정하면 나머지 강도 매개변수를 추정할 수 있다.
| $$\sigma_{cm}=\frac{2c\;\cos\phi}{1-\sin\phi}$$ | (5) |
여기서 은 암반의 일축압축강도, c와 는 각각 점착력과 내부마찰각이다.
첫 번째 역해석 접근법에 해당하는 다른 방법 중의 하나는 AE(acoustic emission) 계측자료와 선형탄성 수치해석을 조합하여 암반의 강도정수를 역해석하는 방법으로 Cai et al.(2007)에 의해 제안되었다. 이 연구의 역해석은 Fig. 2와 같이 AE 개시응력(initiation stress)은 암반의 강도와 관련이 있고, AE 개시응력 수준에서는 재료가 선형탄성 범위 안에 있으므로 탄성 재료모델을 이용하여 AE 개시응력의 추정이 가능하다는 사실에 기반한다. 암반 내 균열이 발생하기 시작하는 AE 개시한계(initiation threshold)에 대한 경험식(식 (6))을 이용하여 최적화를 위한 목적함수를 식 (7)과 같이 정의하였다.
| $$\sigma_1-\sigma_3=A\sigma_m$$ | (6) |
| $$f=\sum_{i=1}^n(\sigma_1-\sigma_3-A\sigma_m)=\sum_{i=1}^n\left(\sigma_1-\sigma_3-A\frac{2c_m\cos\phi_m}{1-\sin\phi_m}\right)$$ | (7) |
여기서 과 는 각각 최대 및 최소 주응력, A는 암석종류에 따른 상수(=0.4~0.6), 은 암반의 일축압축강도, f는 목적함수, , 은 각각 암반의 점착력과 내부마찰각이다.
Fig. 3은 Cai et al.(2007)의 역해석 과정을 나타낸다. 먼저 현장에서 특정 암반위치에 AE 센서를 매설하여 AE가 발생하기 시작하는 굴착단계를 계측하고, 지반조사로부터 산정된 암반의 변형특성을 토대로 탄성 유한요소해석을 수행하여 현장계측된 AE가 발생하는 굴착단계에서의 응력수준(과 )을 유한요소해석 결과로부터 산정한다. 식 (6)의 상수 A는 암종에 따른 경험적인 상수로서 알려진 값(known value)으로 가정하면, 목적함수 f를 최적화함으로써 암반의 일축압축강도 을 구할 수 있다. 식 (5)로부터 알 수 있듯이 특정 일축압축강도를 제공하는 다양한 조합의 점착력과 내부마찰각이 존재할 수 있다. 따라서 이 두 가지 강도 매개변수 중에 어느 하나를 알려진 값으로 가정해야 하며, 이 연구에서는 지반조사로부터 획득된 암반의 내부마찰각이 점착력에 비해 상대적으로 그 값의 변동이 크지 않아 신뢰도가 높다고 판단하여 현장의 블록전단시험(block shear test)으로부터 얻은 내부마찰각을 입력하여 점착력을 추정하였다.
두 번째 역해석 접근법은 계측변위에 대해 비선형 변형거동을 고려한 탄소성 역해석을 수행하여 직접적으로 강도정수를 추정하므로 첫 번째 접근법에 비해 상대적으로 합리적인 암반물성 정보를 제공할 수 있는 방법이다. Gioda and Maier(1980)는 Mohr-Coulomb 재료모델을 토대로 압력터널(pressure tunnel) 주변지반의 탄소성 변형거동을 고려한 역해석 연구를 수행하였다. 이 연구에서는 관측치와 계산치 간의 차이를 나타내는 목적함수를 식 (8)과 같이 정의하고 이를 최소화하여 주변지반의 강도정수를 추정하였다.
| $$f=\frac{SF}\alpha\left[\sum_{i=1}^N\left(\delta_i^\ast-\delta_i\right)^2\right]^{1/2}$$ | (8) |
여기서 a는 터널반경, SF는 목적함수를 정의하기 위한 scaling factor(=104), N은 총 계측지점의 수, 와 는 각각 계측된 변위값과 해석적으로 계산된 변위값을 나타낸다.
Gioda and Maier(1980)의 연구에서는 Fig. 4와 같이 초기지압 조건에 따라 역해석에 의해 추정될 수 있는 강도정수의 유효영역이 변동될 수 있음을 보고하였다. 이 그림에서 경계 I의 내부는 공학적 또는 경험적으로 의미가 있는 역해석 매개변수(점착력과 내부마찰각)의 사전정보(prior information)에 해당하는 영역, 경계 II는 해당 강도정수에 대해 탄성 지반변위만 발생하는 경계로 이 경계를 벗어난 강도정수가 큰 영역에서는 지반의 탄성변형만 발생하여 계측된 변위에 접근하지 못하는 목적함수가 수렴되지 않는 영역를 나타낸다. 경계 III를 벗어나 강도정수가 작은 영역은 강도정수 값이 작아서 계측된 지반거동을 반영하지 못하는, 즉 작은 강도정수 값으로 인하여 지반변위가 크게 발생하여 계측된 변위에 접근하지 못하는 매개변수 공간을 나타낸다. 경계 III의 첨자 p와 u는 각각 압력터널에 하중이 작용하는 조건(loading)과 작용하지 않는 조건(unloading)을 나타낸다. 이 연구에서는 초기지압 조건에 따라 강도정수의 유효영역이 달라지고, 유효한 영역 내에서도 여러 가지 조합의 강도정수가 추정될 수 있음을 나타냈다. 이러한 이유로 초기지압과 지반의 변형계수가 알려진 값이라고 가정한 탄소성 역해석으로부터 터널 주변지반의 강도정수를 추정하였다. Mohr-Coulomb 재료모델에 기반한 탄소성 역해석의 다양한 조합의 강도정수 추정 가능성은 Arai(1993)의 연구에서도 보고되었다. Fig. 5는 Arai(1993)의 연구에서 사용한 지반의 지지력(bearing capacity) 평가를 위한 평판재하시험(plate loading test) 수치모델로서, 평판에 작용하는 수직압력으로부터 계산된 지반변위를 현장에서 계측된 변위라고 가정하여 지반의 강도정수인 점착력과 내부마찰각을 역해석에 의해 추정하였다. 역해석으로부터 추정된 강도정수는 Fig. 6과 같으며, 계측변위를 만족시키는 점착력과 내부마찰각의 관계를 나타낸다. 이 그림으로부터 지반 계측변위에 기반하여 탄소성 역해석을 수행하는 경우, 계측된 변위량을 발생시키는 강도정수가 단 하나의 조합이 아닌 여러 가지 조합이 추정될 수 있음을 알 수 있다. 이는 점착력이 작으면 내부마찰각이 커지는 조합, 반대로 내부마찰각이 작으면 점착력이 커지는 조합으로 해당 지반변형량을 만족시키는 다양한 조합의 강도정수값들이 존재할 수 있기 때문이다.
기존 역해석의 한계점과 개선사항
앞절에서 기술한 탄성 역해석에 기반한 강도정수 추정법들은 다음과 같은 특징을 갖고 있다. 재료의 한계변형률 개념을 토대로 암반의 변형계수와 압축강도의 상관관계를 이용하는 방법은 비교적 간편하게 암반 강도정수의 추정을 가능하게 하고, 암반의 선형탄성 거동을 가정하여 추정된 변형계수는 탄소성 거동 가정에 비해 낮게 그 값이 평가되므로 보수적 안정성 평가, 즉 안전측 설계를 기대할 수 있다. 그러나 변형계수가 암반의 선형탄성 거동을 가정하여 추정되고, 암반강도로부터 강도 매개변수의 유일해(unique solution)를 추정하기 위해서는 강도특성에 대한 사전정보가 필요하기 때문에 정확한 추정법으로 간주하기 어려운 한계점이 있다. AE 개시응력과 탄성거동 수치해석 결과를 조합하는 방법은 위의 변형계수와 압축강도의 경험적인 관계를 사용하는 역해석과는 달리 현장에서 계측된 AE 자료에 기반하여 암반강도를 추정하므로 개선된 방법이라고 할 수 있다. 그러나 이 방법에서도 역해석 목적함수를 구성하는 경험적인 상수를 알려진 값으로 가정해야 하고, 강도 매개변수들간의 상관관계를 알지 못하면 강도정수의 유일해를 추정할 수 없는 단점이 있다. 비선형 변형거동을 고려한 탄소성 역해석은 암반강도와 관련된 사전정보(예, 한계변형률 개념의 변형계수와 압축강도의 상관관계, AE 개시응력과 관련된 경험적인 상수)를 활용하지 않고 계측변위를 만족시키는 강도정수 조합을 직접적으로 추정할 수 있어 탄성 역해석에 기반한 방법에 비해 합리적인 방법으로 간주할 수 있다. 그러나 탄소성 역해석에 기반하여 강도정수를 추정할 때에도 초기지압 및 암반의 변형계수 조건에 따라 다양한 조합의 강도정수가 탐색될 수 있는 문제점이 있다.
재료의 선형탄성 거동을 가정한 탄성 역해석은 응력과 변형의 관계가 선형적으로 표현되므로 계측된 굴착변위에 대해 추정하고자 하는 변형특성에 대한 유일해를 제공한다. 그러나 앞서 살펴본 것처럼 암반의 강도정수 추정을 위한 계측변위 기반의 탄소성 역해석은 기본적으로 재료의 변형특성과 강도특성의 유일해를 제공하지 못하고, 다양한 조합의 초기지압, 변형 및 강도특성이 추정될 수 있는 한계를 갖고 있다. 이는 재료의 탄소성 변형 거동을 가정한 경우, 응력과 변형의 관계가 비선형적이고 재료파괴 후 소성변형량을 만족시키는 강도정수가 다양한 조합으로 구성될 수 있기 때문이다. Mohr-Coulomb 재료모델의 경우, 점착력이 작으면 내부마찰각이 커지는 조합 또는 내부마찰각이 작으면 점착력이 커지는 조합으로 해당 소성변형량을 만족시키는 다양한 조합의 강도정수값들이 존재할 수 있는 가능성이 있다. 이로 인해 비선형 탄소성 역해석에 의해 암반 강도정수의 유일해를 추정하기 위해서는 사전정보, 즉 계측변위를 구성하는 탄성변형과 소성변형 비율에 대한 정보, 강도정수를 나타내는 매개변수들간의 상관성에 대한 정보가 필요하다. 계측된 굴착변위를 탄성과 소성 변형량으로 구분할 수 있으면, 탄성 역해석으로부터 초기지압과 암반의 변형특성을 산정할 수 있다. 이 정보를 기반으로 탄소성 역해석을 수행하여 강도정수를 추정하고, 여러 가지 조합의 강도정수가 추정된 경우 강도 매개변수들간의 상관관계를 이용하여 단일 최적해를 최종 선정할 수 있다.
위에서 언급한 사전정보는 현실적으로 획득하기 어려운 자료로서, 탄소성 역해석을 통해 암반물성을 파악하고자 하는 경우 물성의 불확실성을 고려한 접근법이 합리적일 것으로 판단된다. 즉, 불확실성 개념을 적용하여 암반물성 매개변수의 단일해를 추정하지 않고 해당 매개변수가 존재할 수 있는 범위를 추정하는 것이다. 이를 위해 지반조사로부터 초기지압 및 암반 변형계수에 대한 변동(variation) 수준을 파악하고, 이들 매개변수의 상한값과 하한값 정보를 토대로 강도정수를 추정하게 되면 안정성 평가를 위한 암반물성의 불확실성 정보를 획득할 수 있다. 이 정보는 현장의 암반물성 변동성에 대한 자료로서 신뢰도 기반 안정성 평가에 활용될 수 있다. 즉, 기존의 신뢰도 기반 안정성 평가는 설계단계에서 산정된 입력물성의 불확실성에 기반하므로 불확실성 정보가 충분하지 않고 대표성이 결여될 수 있는 한계가 있는데, 역해석을 통해 파악된 현장의 암반물성 변동성 자료와 조합하여 불확실성 정보를 업데이트함으로써 개선된 신뢰도 분석결과를 도출할 수 있을 것으로 판단된다.
맺음말
본고에서는 역해석을 위한 최적화 기법을 소개하고, 지하굴착 주변암반의 강도정수 추정과 관련된 기존 역해석 기법의 특징을 분석하고 개선해야 할 사항에 대해 기술하였다. 계측변위 기반의 탄소성 역해석은 기본적으로 재료의 변형특성과 강도특성의 유일해를 제공하지 못하고, 다양한 조합의 응력조건, 변형 및 강도특성이 추정될 수 있는 것으로 파악되었다. 유일해를 추정하기 위해서는 재료에 작용하는 초기응력 조건 및 변형특성에 대한 사전정보가 존재하거나 계측변위를 탄성 및 소성 변형량으로 구분할 수 있다는 가정, 그리고 강도특성을 나타내는 매개변수들간의 상관관계가 알려져 있다는 가정이 필요한 것으로 분석되어 향후 이와 관련된 연구가 추가적으로 수행되어야 할 것으로 판단된다.
일반적으로 지하굴착 시 계측기 설치작업은 굴착 후 시작되므로 굴착 직후부터 계측기가 설치되기 전까지 시간 차이가 발생하고, 이로 인해 계측기 설치 이전의 지반거동을 파악하는 것은 현실적으로 용이하지 않다. 이러한 미계측 지반거동 자료를 합리적으로 고려하지 않은 역해석은 신뢰도가 높지 않은 매개변수 추정 결과를 낳을 수 있다. 따라서 지반굴착 직후부터 최초 계측시점까지의 지반거동을 추정할 수 있는 기법에 대한 연구가 수행될 필요가 있다. 한편, 기존의 역해석 연구는 미계측자료, 계측 오차, 해석모델링 오차 등으로 인한 추정 매개변수의 불확실성을 고려하지 않은 결정론적 접근법에 주로 집중되었다. 이러한 결정론적 접근법은 매개변수 추정의 불확실성 및 지반물성 매개변수의 임의성(randomness)에 대한 정량적인 정보를 제공하지 못하므로 이를 개선하기 위한 확률론 기반의 역해석 연구가 향후 수행되어야 할 것으로 판단된다.
