서론
화약의 폭발이나 물체간 빠른 충돌은 큰 에너지가 짧은 시간 동안 방출되어 충격하중에 노출된 재료의 대변형을 유발한다. Fig. 1은 금속재료의 변형률 속도(strain rate)에 따른 재료거동의 범주(quasistatic, high velocity impact 등), 해당 범주별로 물성시험을 위한 외부하중 재하방법(explsive impact, light-gun impact 등) 및 재료 내 발생 이벤트(shock-wave propagation 등)를 나타내는 그림으로, 변형률 속도에 따라 재료 내에서 특정 이벤트가 발생하고, 재료물성 파악을 위한 시험 시 재하조건을 달리해야 하는 것을 알 수 있다. 고속충격(high velocity impact)과 관련된 초기의 연구, 특히 군사목적의 경우, 큰 시설과 비용을 투자하는 실험적 방법을 통해서 주로 이루어졌다. 그러나 많은 시간과 비용이 소요되는 실험적 방법의 단점으로 인해 경제적인 분석법이 요구되어 왔으며, 최근의 컴퓨터 연산기술의 발전에 따라 초기의 실험에 의존했던 충돌문제 연구가 유체 동역학 코드(hydrodynamics code)를 이용한 수치모사(numerical simulation)를 통해서도 다양하게 수행되고 있다.
발사체(projectile)의 관통, 화약을 이용한 콘크리트 구조물의 발파해체(Park and Kim, 2007; Yang et al., 2014)와 같은 고속의 동적 현상을 유체 동역학 코드를 이용하여 분석하기 위해서는 외부하중을 받는 재료의 역학적 반응을 수학적으로 표현할 수 있는 재료모델이 필요하다. 재료모델은 충격하중으로 인한 비선형 변형거동, 충격하중의 크기 또는 변형률 속도에 의존하는 강도 특성, 재료파괴 후 손상거동 등을 고려할 수 있어야 한다. 재료모델과 관련된 매개변수들은 현장의 실규모 충격/폭발 시험 또는 실내의 스플릿 홉킨스 압력바 시험(split Hopkinson pressure bar test), 평탄 충격 시험(flyer plate impact test), 테일러 실린더 충격 시험(Taylor cylinder impact test) 등을 통해서 결정될 수 있다.
본 고에서는 고속충격 환경에 노출된 콘크리트의 동적 거동을 모사하는 데 이용되는 재료모델을 소개하였다. 콘크리트 재료모델의 특징 및 암반 모델링에의 활용성을 분석하였으며, 입력 매개변수의 산정방법에 대해 기술하였다.
콘트리트 재료모델
개요
SCF(soil and crushable foam) 모델은 Krieg(1972)에 의해 제안된 재료모델로서 매질 내 공극(pore)이 존재하는 기포 콘크리트(cellular concrete)와 같은 발포재료(foam) 또는 토사지반의 충격 거동을 모사하는 데 활용되는 재료모델이다. SCF 모델을 이용한 다공성 재료(porous material)의 동적 거동에 대한 수치모사는 Schwer(1988)에 의해 시작되었다. Schwer(1988)는 미공군의 hard target weapon 개발과 관련하여 폭탄의 지중관통(earth penetration)에 대한 수치해석을 수행하고, 그 결과를 실험을 통해 비교 분석하였다(Fig. 2). 이 연구에서는 지하 천부에 매설된 철근보강 콘크리트(reinforced concrete) 표적(target)을 깊이 6 ft까지 관통할 수 있는 air delievered steel cased bomb을 개발하고자 하였다. SCF 모델을 이용하여 콘크리트와 토사를 모델링하였으며, 실험에서 관측된 재료의 동적 거동과 수치해석의 결과가 잘 일치하는 것으로 분석되었다. SCF 모델은 비교적 단순한 동적 재료모델로서 재료의 탄성거동 한계를 고려하는 캡 재료모델(cap material model)에 비해 거동 예측의 정확도는 다소 떨어지는 것으로 알려져 있다.
취성재료인 콘크리트의 고속충격에 따른 재료거동을 신뢰도 높게 모사하기 위해 다양한 동적 거동 재료모델들이 제시되어 왔다. 대표적으로 KC(Karagozian and Case) 모델, RHT(Riedel, Hiermaier, and Thoma) 모델, BF(Brannon- Fossum) 모델, CSC(continuous surface cap) 모델이 있으며, 이 모델들은 일반적인 정적(static) 재료모델과는 다르게 세 가지의 강도와 관련된 면, 즉 탄성 한계면(elastic limit surface), 파괴면(failure surface), 파괴후 잔류 파괴면(residual failure surface)을 고려한다. Fig. 3은 RHT 모델의 개념을 나타내는 그림으로, 탄성 한계면은 Fig. 3과 같이 특정압력 이상에서 축차응력(deviatoric stress)이 증가하지 않고 반대로 감소하는 캡으로 구성되어 있어 일정수준 이상의 압력조건에서 재료가 탄성거동을 거치지 않고 바로 소성거동하는 것을 고려한다. 이러한 캡 모델들을 활용함으로써 재료의 탄성한계를 고려하지 않는 모델에 비해 충격하중으로 인한 재료의 동적 반응을 보다 정교하게 모사하는 것이 가능하다.
탄성변형 한계를 고려한 캡 재료모델
본 절에서는 고속충격에 따른 콘크리트의 역학적 거동을 신뢰도 높게 모사할 수 있는 탄성변형 한계를 고려한 캡 재료모델을 소개하고자 한다. 앞서 기술한 네 가지 콘크리트 모델들 중에서 대표적으로 RHT 모델을 토대로 재료모델을 구성하는 상태방정식(equation of state), 재료강도와 관련된 파괴방정식, 재료의 탄성한계를 경계짓는 캡 구성식을 설명하였다. 참고로 앞서 언급한 KC, RHT, BF, CSC 모델들은 상태방정식, 파괴방정식, 캡 구성식에 대한 수학적 표현은 다르지만, 공통적으로 재료의 비선형 변형거동, 탄성 한계면, 파괴면, 잔류 파괴면을 모두 고려하고 이와 관련된 계산과정은 거의 동일하다.
상태방정식
콘크리트와 지반은 매질 내 공극이 분포하므로 충격하중으로 인한 재료의 파쇄(crushing)와 이로 인한 치밀화(densification)/다짐(compaction)을 고려할 수 있는 다공성 재료모델을 적용할 필요가 있다. Herrmann(1969)은 불균질성 및 공극으로 인해 복잡한 비선형 변형거동을 보이는 다공성 재료의 상태방정식(P-α 상태방정식)을 식 (1)‒(3)에 의해 제안하였다. Fig. 4는 다공성 재료의 P-α 상태방정식의 전형적인 형태를 나타낸다(Thoma et al., 1999). P-α 상태방정식에서는 압력 Pcrush까지는 재료가 탄성적으로 변형하고, 이후 압력증가에 따라 공극이 붕괴되어 다짐이 진행되면서 Plock(완전 다짐 압력)까지 비선형 소성거동을 하고, 완전 다짐 이후에는 압력증가에 따라 재료변형이 크게 발생하지 않도록 재료거동을 모사한다.
다공성 재료:
| $$P=f(\;\rho\;\alpha,e)\;\mathrm{for}\;\alpha=1+(\alpha_{\in i}-1)\left[\frac{P_{lock}-P}{P_{lock}-P_{crush}}\right]^n$$ | (1) |
여기서 ρ는 밀도, α는 공극률, αini는 초기 공극률, Plock은 완전 다짐 시 압력, Pcrush는 공극이 붕괴되어 다짐이 시작되는 압력, n은 다짐 지수(compaction exponent)이다.
완전 다짐된 재료:
| $$P=A_1\mu+A_2\mu^2+A_3\mu^3+(B_0+B_1\mu)\rho_0e\;\mathrm{for}\;\mu=\frac\rho{\rho_0}-1\geq0$$ | (2) |
| $$P=T_1\mu+T_2\mu^2+B_0\rho_0e\;\mathrm{for}\;\mu=\frac\rho{\rho_0}-1<0$$ | (3) |
여기서 P는 압력, A1, A2, A3, B0, B1, T1, T2는 상수, 는 밀도, 은 초기 밀도, e는 내부 에너지이다.
파괴방정식
RHT 모델에서는 비선형 파괴면을 정의하면서 변형률 속도 증가에 따른 재료강도의 증가를 고려하고, 이는 식 (4)‒(11)과 같이 파괴면을 정의하는 함수에서 표현된다. 변형률 속도의 증가에 따른 강도 증가의 함수는 기존의 연구들에서 조사된 콘크리트 재료의 변형률 속도 증가에 따른 강도 증가에 대한 자료를 함수형태로 분석하여 얻어졌으며(CEB, 1988), 식 (6)‒(7)과 같다.
| $$Y_{fail}=Y_{TXC}(P)F_{rate}(\dot\varepsilon)R_3(\theta)$$ | (4) |
| $$Y_{TXC}(P)=f_cA\lbrack P^\ast-(P_{spall}^\ast F_{rate})\rbrack^N$$ | (5) |
| $$F_{rate}(\dot\varepsilon)=\left(\frac{\dot\varepsilon}{{\dot\varepsilon}_0}\right)^\alpha\;\mathrm{for}\;P>\frac{f_c}3\;\mathrm{and}\;{\dot\varepsilon}_0=30\times10^{-6}sec^{-1}$$ | (6) |
| $$F_{rate}(\dot\varepsilon)=\left(\frac{\dot\varepsilon}{{\dot\varepsilon}_0}\right)^\delta\;\mathrm{for}\;P>\frac{f_t}3\;\mathrm{and}\;{\dot\varepsilon}_0=30\times10^{-6}sec^{-1}$$ | (7) |
| $$\alpha=\frac1{\displaystyle5+\frac34f_c}$$ | (8) |
| $$\delta=\frac1{\displaystyle10+\frac12f_c}$$ | (9) |
| $$R_3(\theta)=\frac{2(1-Q^2)cos\;\theta+(2Q-1)\lbrack4(1-Q^2)cos^2+5Q^2-4Q\rbrack^{\displaystyle\frac12}}{4(1-Q^2)cos^2theta+(1-2Q)^2}$$ | (10) |
| $$Q=Q_0+B\cdot P^\ast\;\mathrm{for}\;0.5<Q\leq1.0$$ | (11) |
여기서 Yfail은 파괴면을 정의하는 축차 응력, YTXC(P)는 압축강도, 압력, spall strength, 변형률 속도 증가에 따른 압축강도 증가율과 관련된 압력, Frate(έ)는 변형률 속도 증가에 따라 강도 증가율을 정의하는 함수, R3()은 강도를 scaling하는 함수, fc는 압축강도, ft는 인장 강도, P*와 P*spall은 각각 fc에 의해 정규화된 압력과 spall strength, A는 파괴면 상수, N은 파괴면의 지수, 는 변형률 속도, α와 δ는 강도 증가율을 정의하는 함수의 지수, 는 π-plane에서의 각도(Lode angle), Q는 정수압 축(hydrostatic axis)으로부터 compressive meridian까지의 거리에 대한 tensile meridian까지의 거리의 비, Q0은 초기 Q 값, B는 취성-연성 전이(brittle to ductile transition)에 대한 인자이다.
탄성한계 캡 구성식
RHT 모델에서는 재료의 강도에 대한 파괴면뿐만 아니라 재료의 탄성거동을 구분하는 탄성 한계면을 고려한다. 탄성 한계면은 식 (12)와 같이 강도에 대한 파괴면에 일정 비율을 곱하여 결정되고, 파괴면과는 다르게 압력 증가에 따라 탄성 한계면을 정의하는 축차 응력이 증가하지 않고 감소하는 캡으로 구성되어 있다(식 (13)).
| $$Y_{elastic}=Y_{fail}F_{elastic}F_{CAP}(P)$$ | (12) |
| $$F_{CAP}(P)=\begin{Bmatrix}1&\mathrm{for}\;P\leq P_u\\\sqrt{1-\lbrack(P-P_u)/(P_0-P_u)\rbrack^2}&\mathrm{for}\;P_u<P<P_0\\0&\mathrm{for}\;P\geq P_0\end{Bmatrix}$$ | (13) |
여기서 Yelastic과 Yfail은 각각 탄성 한계면과 파괴면을 정의하는 축차 응력들, Felastic은 파괴면 강도에 대한 탄성 강도의 비, FCAP(P)은 탄성적 축차 응력을 제한하는 무차원 함수, Pu는 탄성 한계면에서 축차 응력이 감소하기 시작하는 압력, P0는 캡의 경계를 정의하는 최대 압력(=Pcrush)이다.
콘크리트 재료모델의 특징 및 암반 모델링에의 활용성
SCF 모델은 재료의 탄성변형 한계를 고려하지 않는 비교적 단순한 동적 재료모델로서 탄성한계를 고려하는 캡 모델에 비해 거동 예측의 정확도는 다소 떨어진다. 그러나 SCF 모델은 콘크리트나 흙과 같은 다공성 재료의 고속충격 환경에서의 거동을 비교적 적절히 모사하고, 입력 매개변수의 수가 적어 예비설계(preliminary design)용으로 활용도가 높은 것으로 알려져 있다(Fasanella et al., 2009). 재료의 탄성변형 한계를 고려하는 캡 재료모델들(KC, RHT, BF, CSC 모델)은 구성방정식의 수학적 정식화(mathematical formulation)는 다르지만, 재료의 비선형 거동을 모두 고려하고 이와 관련된 계산과정은 거의 동일하다. 정적 재료모델과는 달리 이들 캡 모델에서는 고속충격에 따른 재료의 비선형 변형거동, 즉 변형률 속도나 동하중의 크기에 의존하는 비선형 변형 및 강도 특성을 모사하기 위해 다양한 모델 매개변수들이 요구된다. 이 매개변수들은 실험으로부터 측정된 재료거동 자료를 토대로 산정되어야 한다.
콘크리트는 암석과 유사한 취성재료이므로 콘크리트 재료모델은 암반을 모델링하는 데 활용될 수 있다. 위에서 언급한 콘크리트 모델들의 암반 모델링에의 활용성을 분석해보면 다음과 같다. SCF 모델은 수학적으로 단순한 재료모델로서 입력 매개변수의 수가 많지 않아 활용성이 높은 편이나, 탄성변형 한계를 고려하지 않는 모델이므로 일정수준 이상의 큰 압력조건에서 재료가 탄성거동을 거치지 않고 바로 소성거동하는 것을 고려하지 못하는 단점이 있다. 따라서 SCF 모델은 외부 충격하중의 크기나 속도가 크지 않아 재료의 급작스런 소성거동을 고려할 필요가 없는 암반 충격문제에 활용이 가능할 것으로 판단된다.
KC, RHT, BF, CSC 모델은 재료의 탄성변형 한계를 고려한 캡 모델들로서 거동 예측의 정확도는 높은 편이나, 입력 매개변수가 다양하고 매개변수 산정을 위해 현장의 충격실험을 수행해야 하는 등 산정과정이 복잡한 불편함이 있다. 한편, 이 모델들은 특정 압축강도에 대한 모델 매개변수들의 기본값을 제공하는 것으로 알려져 있다. 즉, KC 모델은 45 MPa, RHT 모델은 35 MPa과 140 MPa, BF 모델은 23 MPa, CSC 모델은 20‒58 MPa의 일축압축강도를 갖는 콘크리트에 대해 재료모델 매개변수의 값들이 실험을 통해 규명되어 있다(Brannon and Leelavanichkul, 2009). 분석대상 지역의 암석에 대한 동적 시험에 의해 모델 매개변수를 산정하기가 어렵거나 개념설계(conceptual design)를 목적으로 하는 경우에는 위의 콘크리트 모델들이 대상으로 하는 재료의 압축강도를 고려하여 암반 모델링이 가능할 것으로 판단된다. 특히, RHT 모델에서는 재료의 압축강도 35‒140 MPa 범위 내에서 압축강도에 따라 선형보간(linear interpolation)을 통해 관련 매개변수들을 추정할 수 있으므로 암반의 압축강도별로 수치모델링이 가능할 것으로 판단된다. RHT 모델을 이용한 암반 모델링은 Park et al.(2009)와 Park and Jeon(2010)의 연구에서 활용된 사례가 있다. 이 연구들에서는 RHT 모델을 사용하여 수치해석적으로 발파진동저감 공법의 효과를 분석하였다. Bieniawski(1979, 1989)에 따르면, 보통의 암반조건(fair rock mass condition)에서 무결암의 일축압축강도는 50‒100 MPa이고, 이 압축강도의 평균인 75 MPa과 시료형상에 따른 압축강도 보정을 고려하여 보통의 암반조건을 모델링하였다. Table 1은 Park et al.(2009)의 연구에서 사용한 RHT 모델의 매개변수와 값들을 나타낸다. 참고로 Table 2는 SCF 모델의 매개변수를 나타내는 표로서 Table 1의 RHT 모델에 비해 입력 매개변수가 비교적 단순한 것을 알 수 있다.
Table 1. Parameters and values of RHT model used in Park et al. (2009)
Table 2. Parameters and values of SCF model used in Kulak and Bojanowski (2011)
수치모델의 매개변수 산정방법
재료의 비선형 변형거동, 즉 압력-체적변형률 관계(상태방정식)는 정수압 압축시험(hydrostatic compression test)을 통해서 획득될 수 있다. Fig. 5는 다공성 재료에 압축력이 작용하는 경우 압력(P)과 부피의 관계를 나타낸다. P0 < P < P1인 경우, 재료는 체적변형계수(bulk modulus) K를 따라 탄성거동, P1 < P < P2인 경우, 재료 내 공극이 닫히면서 비선형 소성거동, P > P2인 경우, 재료 내 공극이 완전히 제거된 상태로 변형거동을 하게 된다. 압력-체적변형률 관계는 식 (14)‒(15)를 이용하여 산정된다.
| $$P=(\sigma_1+2\sigma_3)/3$$ | (14) |
| $$\varepsilon_v=(\varepsilon_1+2\varepsilon_3)$$ | (15) |
여기서 P는 압력, 과 는 최대 및 최소 주응력, 는 체적변형률, 과 는 최대 및 최소 주변형률를 나타낸다.
다공성 재료의 압력-체적변형률 관계를 얻기 위한 다른 방법으로 다공성 시험편을 대상으로 한 실규모 폭굉 시험이나 평탄 충격 시험를 고려할 수 있다. 실규모 폭굉 실험에서는 다공성 블록 시험편에 장약을 하고 장약한 매질 주변에 계측기를 설치한다(Fig. 6). 설치한 계측기로부터 압력을 획득하고 계측된 충격파의 전달시간을 이용하여 충격파 속도(Us)를 계산한 후, 해당 압력에 대한 밀도는 충격파 이론의 질량, 운동량, 에너지 보존 방정식으로부터 획득된 식 (16)에 의해 산정된다(Gebbeken et al., 2006).
| $$\frac{P-P_0}{1-\rho_0/\rho}=-\rho_0U_s^2$$ | (16) |
여기서 P0와 P는 초기 압력과 시간경과 후 압력, 와 는 초기 밀도와 시간경과 후 밀도, Us는 충격파 속도를 나타낸다.
평탄 충격 시험에서는 화약이나 가스총(gas gun)을 이용하여 디스크 형태의 시료를 재료 특성이 알려진 고정된 금속(C45-steel 등) 표적판에 충돌시키고, 두 재료가 충돌하는 동안 VISAR(velocity interferometer system for any reflector) 레이저 간섭 시스템을 이용하여 표적판 뒷면의 속도를 측정한다(Fig. 7). 그리고 탄성파 및 충격파 이론을 토대로 압력과 해당 압력에 대한 밀도를 산정하여 재료의 상태방정식을 결정한다(Thoma et al., 1999; Gebbeken et al., 2006).
충격하중을 받는 재료의 강도 특성은 실험실 규모로 수행되는 스플릿 홉킨스 압력바 시험 또는 실규모의 충격 시험을 통해서 분석될 수 있다. 스플릿 홉킨스 압력바 시험은 102‒103 s-1의 변형률 속도 범위에서 재료의 동적 강도 특성을 분석할 수 있는 시험법으로(Xia and Yao, 2015), Fig. 8과 같은 시험장비에 의해 시편과 입력봉(incident bar)/출력봉(transmitted bar) 사이의 임피던스(impedance) 차이로 인한 응력파의 반사 및 투과 현상을 이용하여 응력-변형률 관계를 측정한다. 스플릿 홉킨스 압력바 시험 이외에도 실험실 규모에서 수행되는 테일러 실린더 충격 시험, pressure- shear plate impact 시험, freely expanding ring 시험 등을 통해서도 고변형률 속도(high strain rate) 조건에서 재료의 강도 특성을 분석할 수 있다.
실규모 충격 시험에서는 Fig. 9와 같이 실규모의 표적에 발사체를 직접 충돌시키거나 화약을 폭발시켜 표적의 파괴거동을 측정하고, 특정 재료모델을 이용한 수치해석 결과(Fig. 10)가 현장시험 자료와 허용범위 내에서 일치할 때까지 반복적으로 계산하여 강도 관련 매개변수를 결정할 수 있다. 이 방법은 실규모 시험결과에 기반하므로 매개변수 산정의 정확도는 높으나, 실규모 시험을 위한 장소섭외 및 비용 문제, 시행착오에 의한 반복적 수치해석이 수반되므로 시간 및 비용 측면에서 효율성이 떨어지는 단점이 있다.
맺음말
본 고에서는 고속충격 하중을 받는 콘크리트의 동적 거동을 모사하기 위한 재료모델, 각 모델의 특징 및 암반 모델링에의 활용성, 그리고 입력 매개변수의 산정방법에 대해 기술하였다. 고속충격 문제를 풀고자 하는 현장의 암석에 대한 수치 재료모델의 매개변수를 동적 시험에 의해 직접 산정하기 어렵거나 개념설계를 목적으로 하는 경우에는 본 고에서 다룬 재료모델들을 활용하여 암반 모델링이 가능할 것으로 판단된다.
고속충격으로 인한 고변형률 속도 조건에서 동적 거동을 신뢰도 높게 분석하기 위해서는 일정수준 이상의 큰 하중 조건에서 재료의 급격한 소성거동을 고려하는 캡 재료모델을 사용하는 것이 적합한 것으로 파악되었다. 본 고에서 소개한 재료모델 이외에도 콘크리트와 같은 취성재료에 적용가능한 다양한 형태의 수치모델들(Johnson Holmquist 모델, geologic cap 모델 등)이 존재한다. 짧은 시간에 걸쳐 재료의 대변형이 발생하는 고속의 충격조건에서 재료의 비선형 거동을 수치적으로 모사하기 위해서는 재료의 변형, 파괴, 손상과 관련된 복잡한 형태의 구성방정식들이 요구된다. 이러한 구성방정식은 관측된 거동을 표현하는 일종의 경험식으로서 입력 매개변수들은 실내 또는 현장의 실험자료를 토대로 결정되어야 한다. 현재까지 입력 매개변수 산정을 위한 다양한 종류의 시험법들이 제안되어 왔으나, 수치모델별로 표준화된 시험법이 아직 정립되지 않은 실정이다. 따라서 향후 분석대상 재료의 종류, 외부하중 조건(외부하중의 크기 또는 변형률 속도 수준)에 따라 적용가능한 시험법을 분류하고, 시험절차에 대한 가이드라인 정립 및 표준화 방안에 대한 연구가 필요할 것으로 판단된다.
