서 론

파동이 전파하는 양상을 모사하는 수치모델링, 탄성파 자료의 전처리 및 이를 활용한 지하구조 영상화 등의 알고리듬은 높은 연산자원이 요구된다. 또한 해당 알고리듬의 높은 연산 시간을 줄이기 위한 해결책으로 병렬 컴퓨터 등 다양한 전략이 제시되고 있다. 하지만 이는 모두 중앙 처리 장치(central processing unit, CPU) 기반의 고전 컴퓨터 기반의 방법으로, 다루는 자료의 크기에 계산 시간과 자원 소모가 비례하여 증가한다는 특징이 있다. 특히 3차원 공간을 모사하는 고해상도 자료를 다룰 때에는, 계산 시간과 자원 소모량이 기하급수적으로 증가한다.

최근 컴퓨터 기술의 발전에 발맞추어, CPU 기반 고전 컴퓨터가 보이는 연산 성능의 한계를 극복하고자 하는 새로운 접근 방법론이 개발되고 있다(Nielsen and Chuang, 2010). 그 중 양자 컴퓨터는 양자역학의 원리를 응용하여 정보를 처리하는 컴퓨터 방법론으로, 특정 분야에서는 CPU 기반 고전 컴퓨터의 성능을 넘어설 수 있다고 알려져 있다(Harrow and Montanaro, 2007). 전세계적으로 구글, IBM과 같은 다양한 IT 기업들을 비롯한 각국의 연구기관은 양자 컴퓨터 관련 연구에 집중적으로 투자하는 추세이다(The Wall Street Journal, 2023; McKinsey, 2024).

양자 컴퓨터의 개념은 1980년대 초반 미국의 물리학자 리처드 파인만에 의해 처음 등장한 바 있다(Feynman, 1982). 양자역학 연구를 지속하던 파인만은 고전 컴퓨터는 막대한 계산량을 감당하기 어려울 것이라 예측했고, 양자계를 모방할 수 있는 기작의 연산 장치가 가지는 가능성을 제창한 바 있다. 이어 이스라엘 태생의 데이비드 도이치 교수는 중첩된 모든 상태에 대해 연산을 수행하여 전체 시스템에 일괄적으로 연산을 적용할 수 있는 성질인 양자 병렬성을 활용하는 알고리듬을 제시하였다(Deutsch, 1985). 이후 미국의 컴퓨터공학자 피터 쇼어가 고전 컴퓨터 대비 빠른 연산속도의 소인수분해 알고리듬을 개발하면서(Shor, 1994) 양자 컴퓨터는 고전 컴퓨터 기반 체계를 뒤흔들 혁신적인 신기술로 주목받아 왔다.

양자 컴퓨터의 기반이 되는 학문인 양자역학은 인간의 눈으로는 관측하기 어려운 미시 세계의 물리적인 현상을 기술한다. 양자 컴퓨터에 활용되는 양자의 성질 중 하나로는 ‘중첩(superposition)’이 있는데, 이는 0과 1 중 하나의 값으로 결정되는 고전적인 비트(bit)에 대응되는 양자 컴퓨터의 큐비트(qubit)의 개념을 제시한다(Nielsen and Chuang, 2010). 큐비트는 양자 컴퓨터의 기본 단위로, 0과 1의 상태를 동시에 가질 수 있다는 특징이 있다. Fig. 1은 큐비트의 상태를 나타내는 방식인 블로흐 구(Bloch sphere)를 나타내며, 큐비트는 |0⟩과 |1⟩두 상태의 확률이 결합된 형태로 표현된다. 즉, 임의의 큐비트 |ψ⟩는 일반화하여 cosθ|0⟩+sinθeiϕ|1⟩로 표현할 수 있다. 하나의 큐비트가 두 상태에 대한 중첩을 표현하므로, n개의 큐비트가 존재할 경우 이론적으로 2n개의 상태를 동시에 표현할 수 있다. 이러한 중첩의 성질을 이용하여, 양자 컴퓨터는 여러 가지 상태에 대한 연산을 병렬적으로 수행할 수 있다.

Fig. 1.

Bloch sphere representing the state of superposed qubits.

양자 컴퓨터에 사용되는 양자의 또다른 성질로는 ‘얽힘(entanglement)’이 있다. 이는 서로 얽혀 있는 상태의 큐비트는 공간적으로 먼 거리에 존재해도 한 큐비트의 상태가 결정되면 다른 큐비트의 상태도 즉시 결정된다는 원리로, 이러한 원리를 이용하여 양자 컴퓨터는 큐비트 간의 상관관계를 활용하여 정보를 처리할 수 있다(Nielsen and Chuang, 2010). 이러한 얽힘의 성질은 한 번의 관측으로 두 결과를 도출해낼 수 있게 하며, 결과적으로 양자 컴퓨터의 물리적인 연산량을 감소시킬 수 있다.

지하공간 내 자원탐사 및 지하구조 영상화를 목적으로 수행되는 탄성파 탐사는, 그 기술이 발전함에 따라 더 넓고 깊은 지역을 대상으로 수행된다. 탄성파 탐사로 취득한 자료의 용량은 이에 비례하여 증가하며, 해당 자료의 전처리 과정과 이를 기반으로 한 영상화 알고리듬이 차지하는 메모리 및 연산 시간이 증가하는 것은 자명하다. 상술한 과정은 모두 현존하는 CPU 기반 컴퓨터로 수행된다. 따라서 대용량의 자료를 활용한 연산 과정을 더욱 원활하게 진행하기 위해서는 대용량의 저장장치 및 고성능의 연산장치를 활용하는 등 하드웨어 측면의 보강이 유일한 해결책이다.

본 연구는 탄성파 탐사로 취득한 자료의 전처리 및 이를 활용한 지하구조 영상화 분야에서 양자 컴퓨터 기반 기술의 응용 가능성을 제시한다. 양자 컴퓨터는 중첩과 얽힘 등 양자역학적인 현상을 이용하여, 특정 알고리듬의 계산복잡도를 고전적인 컴퓨터 대비 획기적으로 감소할 수 있다. 대규모 탄성파 탐사로 취득된 자료의 전처리 및 영상화 과정에 양자 컴퓨터를 접목한다면 연산 비용 및 연산 시간을 절감하여 전반적인 연산효율성을 향상할 수 있다. 이와 같은 알고리듬 연산 시간의 단축은 지속시간에 비례하여 손실이 발생하는 실제 현장에서의 의사결정 과정을 가속화하고, 결론적으로 경제적인 측면에서 유의미한 효율 향상을 이루어낼 수 있다.

본 연구는 양자 게이트 컴퓨터와 양자 어닐러가 응용하는 양자역학적 이론 및 해당 컴퓨터의 특성을 구체적으로 다루며, 이러한 새로운 컴퓨팅 방식이 탄성파 자료 처리의 연산 효율을 향상할 수 있는 이론적 근거를 살펴본다. 또한 양자 컴퓨터를 기반으로 한 탄성파 탐사 자료의 전처리 과정과 영상화 알고리듬에서 발생하는 계산 병목 현상 등, 실제 양자 컴퓨터 운용시 발생하는 한계점을 분석한다.

탄성파 자료 전처리 기법에서의 양자 컴퓨터 활용 가능성

양자 게이트 컴퓨터

양자 게이트 컴퓨터는 고전 컴퓨터의 논리 게이트와 유사한 역할을 하는 양자 게이트를 연산의 기본 단위로 사용하는 양자 컴퓨터의 한 종류로, 가장 범용적인 양자 컴퓨터로 알려져 있다. 양자 게이트가 수행하는 연산은 반드시 가역적이고 전체 확률이 보존되는 유니타리 연산이라는 특징이 있으며, 양자 게이트 컴퓨터 내에서는 여러 양자 게이트로 구성된 양자 회로의 연산이 수행된다. 입력된 큐비트는 양자 회로 내에서 여러 게이트를 거치며 변화를 거듭하며 최종 상태에 이르고, 이를 관측하여 계산 결과가 도출되는 방식으로 연산을 수행한다(Grover, 1996). Fig. 2는 간단한 양자 회로의 모식도를 나타낸다. Fig. 2 왼쪽의 |0⟩는 큐비트의 초기 상태를 나타내고, H 및 +는 각각 아다마르 게이트(Hadamard Gate) 및 CNOT 게이트를 의미한다. 제일 오른쪽 게이트는 측정 게이트를 의미한다.

Fig. 2.

A simple quantum circuit.

양자 게이트는 지속적으로 개발되고, 다양한 목적을 위해 발전되어 왔다(Barenco et al., 1995). 단일 큐비트를 대상으로 하는 양자 게이트 중 가장 기본이 되는 양자 게이트는 아다마르 게이트로, 이는 큐비트를 균등한 중첩 상태로 변환한다. 이는 기호 H로 표현하며, 식 (1)과 같이 표현된다.

파울리 게이트는 특정 축을 기준으로 큐비트의 상태를 변화시키며, 그 축에 따라 세 가지 기본 게이트로 구성된다. 그중 X 게이트는 고전적인 NOT 게이트와 유사하게 중첩된 상태를 변환한다는 특징이 있다. 공간상에 존재하는 3개의 축 X,Y,Z에 대해 모두 파울리 게이트가 존재하는데, 이는 수학적으로 식 (2)와 같이 표현될 수 있다.

다중 큐비트를 대상으로 하는 게이트는 큐비트의 개수에 지수적으로 비례하는 크기의 행렬로 구성된다. 이를테면, 2n개의 큐비트를 입력으로 받는 게이트는 2n×2n 크기의 행렬로 표현할 수 있다. 두 개의 큐비트를 상호변환시키는 스왑 게이트(SWAP gate)는 수학적으로 식 (3)과 같이 표현된다.

대부분의 양자 알고리듬은 양자 게이트 컴퓨터에서 구현된다. 고전 컴퓨터에서 지수적인 시간 복잡도를 가지는 탐색 알고리듬을 선형적인 시간 복잡도를 가지게 하는 그로버 알고리듬, 기존보다 빠른 속도의 소인수분해를 가능케 하는 쇼어 알고리듬 등은 모두 양자 게이트 컴퓨터에서 구현된다.

양자 어닐러

양자 어닐러(quantum annealer)는 양자 게이트 컴퓨터와는 대비되는 방식의 양자 컴퓨터의 한 종류이다. 이는 입자가 가진 파동 형태의 특성상 입자의 에너지보다 높은 장벽을 통과할 수 있다는 이론인 양자 터널링을 이용한다(Fig. 3). 고전적인 최적화 알고리듬은 추정한 해가 국소 최소값에 갇히기 쉬운데, 양자 어닐러는 가능한 해의 조합 중 가장 낮은 에너지 상태를 가지는 전역 최소값에 양자 터널링을 통해 도달할 수 있다. 이 과정을 ‘양자 열화(quantum annealing)’라고 하는데, 시스템 전체의 에너지를 천천히 변화시키는 과정이다. 양자 어닐러는 비교적 수월하게 구현할 수 있는 초기 상태를 설정한 후, 시스템 자체를 변화하는 과정인 아디아바틱(adiabatic) 과정을 거친다. 이러한 과정에서 시스템 전체의 에너지가 바닥 상태(ground state)를 유지하도록 하며, 양자 터널링을 이용해 에너지 장벽을 극복해 주어진 최적화 문제의 원하는 해인 최솟값(global minimum)을 도출해내는 원리이다(Farhi et al., 2000).

Fig. 3.

Concept of quantum annealer.

양자 어닐러는 주로 최적화(optimization) 문제를 해결하는 데에 사용된다. 최적화 문제는 주어진 조건을 고려하여 가장 최적의 해답을 도출하는 문제로, 주로 특정 목적함수(objective function)의 최소값을 찾는 과정이다(Aarts and Lenstra, 2003). 이는 목적함수와 제약 조건(constraints)의 성질에 따라 선형 최적화 및 비선형 최적화로 나뉜다. 일반적으로 비선형 최적화의 경우 반복적인 연산을 통해 전역 최솟값을 도출한다. 하지만 비선형 최적화의 경우 연산 과정에서 다수의 지역 최솟값(local minimum)에 빠질 수 있다는 단점이 있는데, 양자 어닐러가 활용하는 양자 터널링 기법은 이러한 지역 최솟값에 빠지는 문제를 극복할 수 있다는 장점이 있다.

주파수 영역에서의 파동장 수치모델링

파동방정식은 파동이 전파하는 양상을 물리적으로 수치화하는 방정식으로, 식 (4)와 같은 방식으로 표현할 수 있다.

c는 매질에서 파동이 전파하는 속도, u는 파동장, x와 t는 각각 공간과 시간을 나타내며, f(x,t)는 특정 시간 및 공간에서의 송신원(source)을 의미한다. 또한, 위 파동방정식을 시간에 대해 푸리에 변환하면 주파수 영역에 대해 나타낼 수 있는데, 이는 식 (5)와 같다.

파동 전파 양상을 모사하는 수치모델링은 탄성파 탐사로 취득된 자료를 기반으로 지하 구조를 영상화하는 과정에 필수적인 과정이다. 식 (5)와 같이 주파수 영역에서 표현된 파동장을 유한차분법(Finite Difference Method, FDM) 기반으로 수치모델링하기 위해서는 격자를 활용하여 각 물성을 이산화하여야 하는데, 특정 주파수 𝜔에 대하여 식 (5)를 다시 표현하면 이는 식 (6)과 같다(Marfurt, 1984). k번째 공간격자에 대한 주파수 영역에서의 파동장 및 송신원은 각각 u~(k) 및 f~(k)와 같고, Δx는 공간격자를 의미한다.

이러한 주파수 영역의 파동방정식을 기반으로 파동의 전파 양상을 모사하는 수치모델링 기법을 구현할 수 있다. 식 (6)은 다시 푸리에 변환된 파동방정식을 식 (7)과 같은 행렬식으로 표현하여 나타낼 수 있다.

따라서 수치모델링된 파동장을 도출하는 과정은 이 선형 행렬방정식의 해를 구하는 과정으로 갈음할 수 있으며, 왼쪽 삼중 대각행렬 형태로 나타나는 시스템 행렬의 역행렬을 구하는 과정이 필수적이다. 일련의 과정을 거쳐 도출된 파동장을 역푸리에 변환하여 최종 파동장 자료를 취득할 수 있다.

대규모 탐사 자료 잡음 제거

지질구조 및 자원 매장량 확인을 위한 물리탐사 기술이 발전함에 따라, 기존 방법 대비 고해상도∙고밀도 자료를 취득하는 사례가 증가하고 있다. 특히 지하 3차원 대규모 공간 구조를 탐사하는 3차원 탐사나 시간경과(4차원) 탐사를 통해 취득된 자료들은 그 용량이 매우 크기에, 이를 활용하기 위해서는 대용량의 저장장치 및 고사양의 연산 장치가 요구된다.

물리탐사로 취득된 모든 자료는 다양한 요인에 의해 필연적으로 잡음이 혼재되어 있기에, 이를 제거하는 과정이 반드시 선행되어야 한다. 다양한 잡음 제거 과정 중, 주파수 필터를 통한 잡음 제거 과정이 주로 사용된다. 이는 푸리에 변환을 통해 취득한 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환시킨 후, 특정 주파수 영역에 분포해 있는 잡음 신호를 지운 후 역푸리에 변환을 수행하는 방식이다.

Fig. 4는 파동의 전파 양상 및 수진기의 자료 취득 기작을 모사하여, 물리탐사 수행을 상정하고 인공적으로 만들어진 탄성파 기록(seismogram)이다. Fig. 5는 해당 탄성파 기록에 시간 방향으로 특정 주파수 영역대의 잡음을 더한 형태이다. 이를 푸리에 변환한 후 특정 임계값의 주파수를 제거하는 과정을 거치면 잡음이 제거되는데, 이러한 형태는 Fig. 6에서 확인할 수 있다. 높은 진동수 차단/통과 필터(hich-cut/pass filter), 톱니 필터(notch filter), 옴스비 필터(Ormsby filter) 등 다양한 형태의 주파수 필터 형태가 존재하며, 이러한 모든 필터는 푸리에 변환에 그 기반을 두고 있다.

Fig. 4.

Original synthetic seismogram.

Fig. 5.

Noisy synthetic seismogram.

Fig. 6.

Denoised synthetic seismogram.

물리탐사 취득 자료의 자료 품질 향상

일반적으로, 물리탐사를 통해 취득한 자료는 유의미한 신호를 더욱 잘 드러내기 위한 잡음 제거, 신호 간의 연속성 강화, 결손된 값을 보간․내삽하는 자료 재건 등의 전처리 과정을 거치게 되는데, 이는 원본 신호를 새로운 영역으로 변환한 후 최적화 연산을 수행하고, 다시 원본 신호의 영역으로 역변환하는 과정이 수반된다.

신호를 단순히 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하는 푸리에 변환의 단점을 극복하고자 원본 신호를 짧은 시간의 구간으로 나누어 각 구간에 대한 푸리에 변환을 수행하는 단시간 푸리에 변환(short-term Fourier transform), 원본 신호를 다양한 스케일에서 분석하여 시간과 주파수의 정보를 제공하며 주로 비정상(nonstationary) 신호를 변환하는 데에 사용되는 웨이블릿 변환(wavelet transform, Farge, 1992), 곡선 형태의 신호를 효과적으로 포착하여 추출하는 데에 특화된 커블릿 변환(curvelet transform, Candes and David, 1999a), 함수를 새로운 좌표계에서 적분하는 원리의 라돈 변환(Radon transform, Radon, 1917)과 웨이블릿 변환이 결합된 릿질릿 변환(ridgelet transform, Candes and David, 1999b) 등이 개발되어 왔다.

이러한 변환기법을 기반으로 한 목적함수를 최적화하는 방식으로는 L1 놈(norm)이 존재하는 최적화 문제를 반복적인 문턱값(soft-thresholding) 방식으로 해결하는 ISTA (iterative soft-thresholding algorithm) 방법(Beck and Marc, 2009), Bregman 거리 함수 기반의 최적화 방법인 LB(Linearized Bregman, Cai et al., 2009) 등이 존재한다.

HHL 알고리듬을 활용한 주파수 영역 파동 수치모델링

HHL 알고리듬

HHL 알고리듬(Harrow-Hassidim-Lloyd Algorithm)은 세 명의 연구자 Aram Harrow, Avinatan Hassidim, Seth Lloyd에 의해 개발된 양자 알고리듬으로, 세 사람의 첫 글자를 따 HHL 알고리듬으로 불린다(Harrow et al., 2009). 이는 양자 게이트 컴퓨터로 구현할 수 있는 알고리듬으로, 특정 조건 하에서 정사각행렬의 역행렬을 구하거나 선형 행렬방정식 AX=b의 해를 효율적으로 구하는 알고리듬이다.

HHL 알고리듬의 구조는 Fig. 7과 같다. HHL 알고리듬은 총 3개의 레지스터(Fig. 7 내 황토색 음영)를 이용하여 크게 위상 추정, 조건부 회전 및 역변환단계를 거친다. 입력된 행렬 b는 입력 레지스터(input register)에 할당되며, 클록 레지스터(clock register) 및 앙킬라 레지스터(ancilla register)는 각각 양자 위상 추정 및 조건부 회전 단계에 사용된다. 위상 추정 단계에서는 행렬 A의 고유값과 해당 고유값에 대응되는 고유벡터를 큐비트의 형태로 근사추정한다. 이후 각 고유값에 대해 해당 고유값의 역수에 해당하는 조건부 회전을 수행하고, 이를 통해 행렬 A의 역행렬을 연산한다. 이후 역변환을 수행하여 선형 행렬방정식 AX=b의 해를 추정한다.

Fig. 7.

HHL chematic (modified from Dutta et al., 2018).

행렬 A의 크기가 N×N일 때, 고전 컴퓨터 기반의 알고리듬이 가지는 시간 복잡도는 O(Nsκlog(1/ϵ))이다. 이에 반해 HHL 알고리듬의 시간 복잡도는 O(log(N)s2κ2ϵ)이다(s는 행렬 A 내 각 행의 0이 아닌 원소의 최대 개수, 𝜅는 행렬 A의 고유값 중 최대값과 최소값의 비율, 𝜖은 결과의 정밀도). 이는 선형적으로 증가하는 시간 복잡도 O(N)에 비해 로그적으로 증가하므로, 큰 규모의 행렬을 연산하는 경우 큰 폭의 시간효율성 향상을 기대할 수 있다. 이러한 장점을 응용하여, 양자 컴퓨터를 이용해 선형 연산을 수행하는 대부분의 알고리듬은 HHL 알고리듬을 기반으로 한다.

HHL 알고리듬 기반 파동장 수치모델링

HHL 알고리듬은 선형 행렬방정식 AX=b의 해를 추정하는 알고리듬으로, 푸리에 변환된 파동방정식의 삼중 대각행렬을 A, 송신원에 해당하는 f~ 행렬을 b, 구하고자 하는 파동장 행렬 u~를 X로 간주할 수 있다. HHL 알고리듬에서의 A 행렬은 A=A†를 만족하는 에르미시안(Hermitian) 행렬이며, 따라서 HHL 알고리듬을 적용할 수 있다.

주파수 영역에서 수행되는 파동장 수치모델링에서 가장 많은 연산 시간을 차지하는 과정은 역행렬 연산이다. 또한 시스템 행렬의 크기는 각 축 방향 개수 곱의 제곱이므로, 조밀한 격자 간격을 상정한 3차원 매질처럼 모사하고자 하는 매질의 크기가 큰 경우 고전적인 CPU 기반 컴퓨터 방식으로는 메모리에 할당하는 과정 자체에 어려움을 겪을 가능성이 농후하다.

반면 해당 역행렬 연산을 HHL 알고리듬으로 대체한다면, 고전적 CPU 방법으로 대규모 행렬의 역행렬을 구하는 데에 소모되는 시간을 절감할 수 있다. 또한 HHL 알고리듬의 경우 행렬이 희소(sparse)할수록 계산효율성이 크게 향상되는데, 파동장 수치모델링의 시스템 행렬은 삼중 대각행렬, 혹은 유사 삼중 대각행렬 형태이므로 비교적 희소성이 높다. 따라서 기존 방법 대비 시간효율성이 크게 개선될 가능성이 충분하다. 특히 3차원 매질의 파장 전파와 같은 큰 규모의 수치모델링을 수행하는 경우 해당 과정에 소요되는 연산 시간 절감 효과는 더욱 극대화된다.

또한 양자 컴퓨터를 활용한 연산은 고전적인 연산 장치의 메모리 성능이 할당할 수 있는 규모보다 큰 규모의 행렬을 연산할 수 없는 문제도 해결할 수 있다. 고전적인 컴퓨터 방식으로는 행렬의 모든 원솟값을 저장해야 하지만, 양자 컴퓨터의 경우 정보를 양자 회로를 통해 간접적으로 처리할 수 있다. 실제로 n×n 크기의 행렬을 할당하는 데에 필요한 고전적인 연산 장치의 메모리에 비해, 양자 컴퓨터에 필요한 큐비트의 개수는 로그 규모로 줄어든다. 따라서 기존 방식으로 역행렬을 구하는 데에 고려해야 할 메모리 문제도 개선될 가능성이 있고, 메모리 오버플로(memory overflow) 발생과 같은 위험도 상대적으로 감소한다.

양자 푸리에 변환을 활용한 대규모 해양 탐사 자료 잡음 제거

양자 푸리에 변환

양자 푸리에 변환은 고전적 푸리에 변환을 양자 컴퓨터로 수행하는 알고리듬이며, 총 N개의 임의 계산 기저 상태 |j⟩(j=0,1,2,⋯,N-1)에 대해 양자 푸리에 변환은 식 (8)과 같이 수학적으로 표현된다(Coppersmith, 2002).

고전 컴퓨터 기반 알고리듬인 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform, DFT)의 시간복잡도는 O(N2)이며, 가장 널리 사용되는 빠른 푸리에 변환(fast Fourier transform, FFT)는 O(NlogN)의 시간복잡도를 가진다. 반면 양자 푸리에 변환의 시간복잡도는 O((NlogN)2)로, 선형적으로 증가하는 기존 푸리에 변환 알고리듬의 시간복잡도에 비해 로그적으로 증가하는 특징을 보인다.

양자 푸리에 변환의 회로는 Fig. 8과 같다. 입력되는 모든 큐비트에 대해 아다마르 게이트를 적용하여 균등한 중첩 상태로 변환시킨 후, 두 쌍의 모든 큐비트 조합에 대하여 각각 위상 회전을 수행한다. 이러한 위상 회전 게이트 Rk는 100exp2πi/2k의 형태로 표현된다. 이는 주파수 정보를 역순으로 출력하기에, 최종적으로 SWAP 게이트를 적용하여 모든 게이트를 뒤집는 과정을 수행한다. 결론적으로, 입력되는 큐비트가 가진 정보는 주파수 영역의 정보로 변환되어 출력되게 된다.

Fig. 8.

Quantum circuit for quantum Fourier transform (modified from Nielsen and Chuang, 2010).

물리탐사 자료 전처리에서의 양자 푸리에 변환 도입

상술하였듯, 현존하는 푸리에 변환 알고리듬 중 가장 시간복잡도가 낮은 빠른 푸리에 변환의 경우 O(NlogN)의 시간복잡도를 보이지만, 양자 푸리에 변환의 경우 O((logN)2)의 시간복잡도를 가지고 있어 비교적 높은 계산효율성을 보인다. 3차원 탐사나 OBN 탐사로 취득한 자료 등 자료의 규모가 큰 경우 이를 고전적 방식의 컴퓨터를 통한 푸리에 변환으로 전처리하는 과정은 긴 시간이 소요된다.

양자 컴퓨터를 활용해 물리탐사 자료를 전처리하기 위해서는 우선 원본 자료를 양자 상태로 인코딩하는 과정이 선행되어야 한다. 모든 자료 벡터 d를 정규화한 후, 식 (9)와 같은 과정을 거쳐 양자 상태 |d⟩에 사상(mapping)한다.

이후 해당 상태를 양자 푸리에 변환 회로에 적용하여, 입력된 큐비트 |d⟩를 주파수 영역으로 변환된 상태의 큐비트 |d~⟩로 변환한다. 이후 출력된 해당 큐비트를 여러 번 반복적으로 측정하여, 주파수 영역으로 변환된 해당 큐비트의 확률적 분포를 추정할 수 있다.

일련의 과정을 거쳐 출력된 주파수별 정보에 대해 주파수 필터를 적용하고, 다시 역푸리에 변환 연산을 수행하는 방식으로 물리탐사 자료를 전처리할 수 있다. 양자 푸리에 변환은 기존 컴퓨터 방식과 같이 역연산이 가능하다. 주파수 필터를 적용한 주파수별 정보를 다시 양자 상태로 사상하고, 양자 역푸리에 변환 회로에 이를 입력하여 전처리된 물리탐사 자료를 큐비트 형태로 취득한다. 마찬가지로 이를 여러 번 반복적으로 측정하면 전처리된 물리탐사 자료를 취득할 수 있다.

양자 어닐러를 활용한 탐사 자료 품질 향상

QUBO 문제

QUBO 문제는 주로 양자 어닐러를 활용하여 해결할 수 있는 최적화 문제로, ‘Quadratic Unconstrained Binary Optimization’의 약자다(Kochenberger et al., 2014). 이는 0, 1로 이루어진 이진 변수들을 사용하여 이차 목적함수를 최소화하는 방식이지만, 변수의 적절한 조합을 통해 제약조건 없이 목적함수를 최소화하는 해를 도출할 수 있다.

일반적으로, n개의 이진 변수 벡터 x와 실수로 이루어진 n×n 크기의 행렬 Q에 대해, QUBO 문제는 식 (10)과 같이 수학적으로 정의된다.

QUBO 문제는 모든 변수의 조합에 대해 이차 목적함수의 값을 계산한 후 그 값이 최소가 되는 x를 찾는 방식으로 이루어진다. 이는 양자 어닐러를 통해 구현할 수 있으며, 비선형적인 최적화 문제를 해결하는 데에 특히 유용하다.

양자 어닐러 기반의 전처리 최적화

일반적인 물리탐사 자료 전처리에 사용되는 최적화 문제는 식 (11)과 같이 수학적으로 표현할 수 있다.

dobs는 관측 자료, Fm은 모델 m을 기반으로 순 모형실험(forward modeling)을 수행하여 예측된 자료, Rm은 규제화(regularization) 항, 𝜆는 규제화 항의 영향을 조정하는 상수이다.

양자 어닐러는 초기 시스템인 해밀토니안(Hamiltonian)에서, 해결하고자 하는 해밀토니안까지 천천히 전이하면서 전역 최솟값을 탐색한다(Johnson et al., 2011). 이를 활용하여 전처리를 수행하기 위해서는, 전처리에 사용되는 최적화 문제를 양자 어닐러가 풀 수 있는 형태의 문제인 QUBO 문제의 집합으로 변환해야 한다. 이후 초기 해밀토니안을 정의하여 양자 어닐러가 최솟값까지 도달하는 QUBO 문제를 연산한다면 최적화를 수행할 수 있다.

양자 어닐러가 해당 QUBO 문제를 해결하는 과정은 고전 컴퓨터의 병렬 연산과 같은 방식으로 이루어져 연산속도를 대폭 감소시킬 수 있다. 반복적인 방식으로 이루어지는 비선형 최적화 문제를 단 한번의 과정으로 연산할 수 있는 셈이다.

제시된 방법의 한계점

실질적인 양자 컴퓨터 운용상의 한계점

큐비트는 매우 불안정하며, 미세한 온도 변화나 압력, 자기장 등 외부 환경에 매우 민감한 특성을 보인다. 이와 같은 요소들은 실제 양자 컴퓨터가 연산하는 과정 중의 오차로 작용한다. 현재 기술로는 양자 게이트의 연산 과정에서의 오차가 발생하며, 이는 양자 컴퓨터의 이론적인 알고리듬과 실제 연산 결과를 상이하게 하는 요인으로 작용한다. 결과적으로 실제 양자 컴퓨터를 활용한 연산 결과의 정확도 및 신뢰성은 현저히 낮은 상태이다.

또한 양자 컴퓨터상에서의 연산을 위해서는 고전적 컴퓨터 기반 자료형을 양자 상태로 인코딩하는 과정이 필수적이다. 이 과정 자체는 연산 시간을 소모할 뿐만 아니라 연산상에서의 오차나 정보 손실의 가능성을 내포하고 있다. 또한 양자 컴퓨터의 연산 결과는 확률 형태로 존재하는데, 이를 여러 번 측정하여 통계적으로 유의미한 결과를 도출해야 한다. 측정 과정 역시 오차 발생을 내포한다.

현재 양자 컴퓨터는 IBM, 구글 등 세계 유수 대기업의 주도 하에 개발되고 있으며, 해당 기업에서 운영하는 클라우드 플랫폼(cloud platform) 형태로 사용 가능하다. 하지만 이러한 양자 컴퓨터는 비교적 적은 수의 큐비트를 가지고 있어서, 대규모․고해상도 자료를 직접 처리하기에는 한계가 있는 실정이다.

양자 컴퓨터 클라우드 플랫폼은 한정된 수의 양자 컴퓨터를 전 세계의 사용자들이 공유하여 사용하는 형식으로 운영되어, 원하는 작업을 대기열(queue)에 추가한 후 타 사용자의 작업 이후 연산하는 방식으로 이루어진다. 또한 해당 플랫폼의 사용자는 직접 양자 컴퓨터가 인식하는 언어를 사용하지 않고, 파이썬(python) 등 객체지향형 언어의 외부 모듈을 사용한다. 이러한 외부 모듈은 사용자의 언어를 양자 컴퓨터가 인식 가능한 형태로 변환하는 과정인 ‘transpile’을 수행하고, 고전 컴퓨터 기반의 자료를 양자 상태로 인코딩한다. 일련의 과정은 양자 컴퓨터를 활용한 연산 시간 증가의 요인으로 작용한다. 결론적으로, 이는 실제 물리탐사 자료의 전처리시 양자 컴퓨터의 계산효율성을 감소시키는 결과를 초래한다.

실제로 IBM社에서 제공하는 양자 컴퓨터 클라우드 플랫폼 모듈인 키스킷(Qiskit)을 활용하여 HHL 알고리듬의 연산을 시도하였으나, 100×100 크기의 행렬의 역행렬 연산에 대해서는 대기열을 제외하고도 5분 이상의 시간이 소요되었다. 또한 D-Wave社에서 제공하는 양자 어닐러를 활용하여 단순한 2차원 영상의 내삽을 시도했으나, 인코딩 과정에서 메모리 오버플로가 발생하는 문제가 발생하였다.

실제 양자 컴퓨터를 활용한 푸리에 변환 연산

Fig. 9는 푸리에 변환을 위한 원본 신호로서, 각각 50 Hz와 75 Hz의 사인파(sine wave)를 혼합한 후 무작위한 잡음을 가한 신호이다. 이때, 50 Hz에 해당하는 신호의 진폭을 75 Hz에 해당하는 신호의 진폭보다 2배 크게 하였으며, 샘플링 주파수는 512 Hz로 하였다. 이후 해당 신호를 총 3가지 방법(빠른 푸리에 변환, 고전 컴퓨터상에서 구현된 양자 컴퓨터 시뮬레이터를 활용한 양자 푸리에 변환, 실제 양자 컴퓨터를 활용한 양자 푸리에 변환)으로 이산 푸리에 변환하였다. 빠른 푸리에 변환은 파이썬에 내장된 모듈인 넘파이(Numpy)의 푸리에 변환 함수를 활용하였고, 고전 컴퓨터상에서 구현된 양자 컴퓨터 시뮬레이터는 IBM社에서 제공하는 양자 컴퓨터 클라우드 플랫폼 모듈인 키스킷(Qiskit) 내 AER 시뮬레이터를 사용하였다. 실제 양자 컴퓨터는 동 모듈의 실제 운영 중인 양자 컴퓨터 하드웨어를 사용하였다.

Fig. 9.

Original signal for Fourier transform.

빠른 푸리에 변환 결과(Fig. 10)를 기준으로 보았을 때, 실제 양자 컴퓨터의 알고리듬을 그대로 모사한 양자 컴퓨터 시뮬레이터에서 연산한 양자 푸리에 변환 결과(Fig. 11)는 매우 유사한 결과를 보인다. 원본 신호의 주파수를 매우 유사하게 인식하며, 해당 주파수의 세기 역시 흡사하게 변환되어 있다. 다만, 입력시 정규화가 필수적으로 수행되어야 하는 양자 컴퓨터 시뮬레이터에서 연산한 양자 푸리에 변환 결과의 진폭은 0~1 사이의 상대적인 진폭 분포로 나타나는 특징을 보인다.

Fig. 10.

Fast Fourier transform results using NumPy.

Fig. 11.

Quantum Fourier transform results using AER simulator.

다만 실제 양자 컴퓨터의 연산 결과(Fig. 12)는 빠른 푸리에 변환 결과와 비교를 할 수 없을 정도의 결과를 보인다. 양자 푸리에 변환 회로(Fig. 8)는 수많은 양자 게이트로 이루어져 있으며, 각 양자 게이트를 거치는 과정에서 발생하는 오류가 누적되어, 양자 푸리에 변환과 같은 복잡한 양자 회로는 결과적으로 큰 오류를 발생한다. 이처럼 푸리에 변환된 결과는 많은 양의 잡음을 나타낸다.

Fig. 12.

Quantum Fourier transform results using real quantum computer.

이렇듯, 고전 컴퓨터상에서 구현된 양자 컴퓨터 시뮬레이터와 실제 양자 컴퓨터를 활용한 양자 푸리에 변환 결과는 양자 컴퓨터를 활용한 물리탐사 자료 전처리의 실질적 적용이 아직 적합하지 않음을 보인다. 양자 컴퓨터를 실질적으로 지구물리 분야에 응용하기 위해서는 양자 게이트로 구성된 양자 회로에서의 잡음 보정이 필수적이다. 또한 양자 컴퓨터를 통해 누리고자 하는 계산효율성을 온전히 누리기 위해서는, 양자 컴퓨터의 연산 시간에 더해지는 클라우드 플랫폼 내 네트워크 지연, 대기열 등의 시간이 단축되어야 한다. 이와 같은 난관을 해결한다면 양자 컴퓨터는 지구물리 분야의 발전에 상당 부분 기여할 수 있을 것이다.

맺음말

본 연구에서는 양자 컴퓨터를 활용하는 물리탐사 자료의 전처리 및 물리탐사 자료를 모사하는 수치모델링 기법의 이론적 가능성을 제시했다. 양자 컴퓨터는 양자역학의 원리를 응용하여 정보를 처리하는 컴퓨터 방법론으로, 특정 분야에서는 CPU 기반 고전 컴퓨터의 성능을 넘어설 수 있다고 알려져 있다. 이는 양자 게이트 컴퓨터 및 양자 어닐러로 구분되며, 연산효율이 높은 알고리듬을 이용하면 고전 컴퓨터 기반 전처리․수치모델링 대비 시간효율적인 연산을 수행할 수 있다. 본 연구에서는 HHL 알고리듬을 활용한 주파수 영역 파동 수치모델링, 양자 푸리에 변환을 활용한 대규모 물리탐사 자료 전처리, 양자 어닐러를 활용한 최적화 문제 형태의 탐사 자료 전처리 등 양자 컴퓨터 기반의 3가지 기법을 제시했다. 해당 방법에서 사용하는 알고리듬 및 연산방식은 고전 컴퓨터 기반 알고리듬 및 연산방식에 비해 이론적으로는 낮은 계산복잡도를 보이며, 따라서 기존 대비 시간효율적인 연산 능력을 기대할 수 있다. 하지만 실제 양자 컴퓨터를 활용한 해당 기법 구현에는 한계가 존재하는데, 양자 컴퓨터의 외부 환경 민감성, 인코딩 및 측정 과정은 연산 결과의 오류 및 연산 시간의 증가를 야기한다. 또한 현재 양자 컴퓨터는 공유 클라우드 플랫폼 형태로 운용되는데, 이 또한 연산 시간이 증가하는 하나의 요인으로 작용한다. 본 연구에서는 실제 양자 컴퓨터에서 수행한 양자 푸리에 변환 결과를 제시하고, 그 오류 및 한계를 보였다. 양자컴퓨터 분야 기술은 발전될 여지가 많으며, 아직 지구물리 분야 내 전처리 및 수치모델링 등의 연산에 실질적으로 적용하기에는 적합하지 않다. 추후 양자 컴퓨터 활용시 발생하는 오류 보정 기술이 발전하고, 양자 컴퓨터와 고전 컴퓨터 간의 자료 변환 과정에 소요되는 과정 등의 시간이 단축되어 양자 컴퓨터가 지구물리 분야의 연산효율성을 향상시킬 수 있기를 기대한다.