Abstract
References
Information
Numerical algorithms have been developed to generate optimal grids for solving partial differential equations governing relevant engineering problems. Finite element (FE) self-adaptive (automatic) hp-refinement strategies (h denotes the element size and p the polynomial order of approximation within each element) have been developed to provide optimal grids (through a sequence of optimal mesh refinements) for computation of high accurate approximations of solutions to the corresponding problems. The strategies include energy-norm based automatic hp-adaptivity and goal-oriented self-adaptive hp-adaptivity. The energy-norm based strategy generates an optimal grid that can produce an accurate solution whose relative error over the whole computing domain is small in a sense of energy-norm, while the goal-oriented adaptivity is based on minimizing the error of a prescribed quantity of interest, that is mathematically expressed in terms of a linear functional. In a geophysical application, a small relative error of a solution does not guarantee a small relative error in the solution at the receiver, since the solution (e.g., an electric field in an electromagnetic survey (possibly in a marine environment)) is usually several orders of magnitude smaller at the receiver antenna than at the transmitter antenna. Therefore, the goal-oriented strategy is a best choice for geophysical exploration applications. This paper first introduces the energy-norm based strategy before explaining the goal-oriented self-adaptive hp strategy. The algorithm of the goal-oriented strategy is based on that of the energy-norm strategy, because the two methods are closely related. For further understanding of optimal hp meshes, we apply the goal-oriented hp FE algorithm to simulation of dual-laterolog logging and discuss resulting optimal grids.
미분방정식을 수치적으로 계산함에 있어서, 원하는 정밀도를 유지하면서 계산 시간을 줄이는 것은 중요한 연구 과제이다. 이를 위해서는 이산화(discretizaton) 오차가 작으면서 자유도(degree of freedom, DOF)의 수가 적은 격자(grid)를 구성할 수 있어야 한다. 원하는 정밀도의 해를 계산할 수 있으면서 자유도의 수가 최소인 최적격자(optimal grid)를 구성하기 위해서 자기적응 hp 유한요소(self-adaptive hp finite element) (여기서 h는 격자의 크기, p는 근사차수) 알고리듬이 개발되었다. 자기적응 hp개선(hp refinement)에는 크게 에너지노름(energy-norm)에 기초한 전략과 목표지향 전략이 있다. 에너지노름에 기초한 전략은 계산 영역 전체에서 해의 오차를 최소화 하는 최적의 격자를 구성하는 반면, 목표지향 전략은 원하는 위치에서 해(관심값, 수학적으로 선형 범함수로 표현됨)의 오차를 허용 범위 이하로 할 수 있는 격자를 구성한다. 특히, 물리탐사 기법은 수신기에서의 값에만 관심이 있기 때문에 목표지향 자기적응 hp 유한요소법의 적용이 보다 타당하다. 또한, 수신기가 송신기로부터 멀어질수록 관심값은 지수함수적으로 감소하기 때문에 에너지노름에 기초한 전략의 경우 이산화 허용오차를 아무리 낮추더라도 관심값의 오차는 매우 클 수 있다. 이 해설에서는 먼저 에너지노름에 기초한 전략을 먼저 소개한 뒤 목표지향 전략에 대해 설명한다. 목표지향 자기적응 hp 알고리듬을 이용하여 이중지향검층(dual-laterolog)을 수치모델링하였다. 모델링 수행 시 1%이내의 오차를 갖는 해를 계산할 수 있는 최적격자를 구성하였으며 이 최적격자의 분석을 통해서 이중지향검층기의 탐사 민감도에 대해 분석할 수 있었다.
- Demkowicz, L.F., Rachowicz, W., and Devloo, P., 2002, “ fully automatic hp-adaptivity,”J. Sci. Comput., Vol. 17, pp. 127-155.
- Demkowicz, L., 2007, “omputing with hp-adaptive finite elements: V. 1, one and two dimensional elliptic and Maxwell problems,”Chapman and Hall/CRC.
- Demkowicz, L., Kurtz, J., Pardo, D., Paszyński, M., Rachowicz, W., and Zdunek, A., 2008, “omputing with hp-adaptive finite elements: V. 2, Frontiers: three dimensional elliptic and Maxwell problems with applications,” Chapman and Hall/CRC.
- Nam, M. J., Pardo, D., and Torres-Verdín, C., 2009, “imulation of DC dual-laterolog measurements in complex formations: A Fourier-series approach with nonorthogonal coordinates and self-adapting finite elements,”Geophysics, Vol. 74, pp. E31-E43.
- Nam, M. J., Pardo, D., and Torres-Verdín, C., 2010, “ssessment of Delaware and Groningen effects on dual-laterolog measurements with a self-adaptive hp finite-element method,” Geophysics, in press.
- Pardo, D., Demkowicz, L., Torres-virdín, C. and Tabarovsky, L., 2006, “ goal-oriented hp-adaptive finite element method with electromagnetic applications. Part I: Electrostatics,” Int. J. Numer. Metho. Engng 2006, Vol. 65, pp. 1269-1309.
- Rachowicz, W., Pardo., D., Demkowicz, L. F., 2006, “ully automatic hp-adaptivity in three dimensions,”Comput. Methods Appl., Mech. Engrg., Vol. 195 (37-40), pp. 4186-4842.
- Rachowicz, W., Oden, J. T., and Demkowicz, L., 1989, “oward a universal hp-adaptive finite element strategy. Part 3: Design of hp meshes,”Comput. Methods Appl., Mech. Engrg., Vol. 77, pp. 181-212.
- Schoeberl, J., 2001, “ommuting quasi-interpolation operators for mixed finite elements,”Technical Report 10, Dept. of Mathematics, Texas A&M University.
- Publisher :The Korean Society of Mineral and Energy Resources Engineers
- Publisher(Ko) :한국자원공학회
- Journal Title :Journal of the Korean Society for Geosystem Engineering
- Journal Title(Ko) :한국지구시스템공학회지
- Volume : 47
- No :4
- Pages :574-584
Journal of the Korean Society of Mineral and Energy Resources Engineers
